Theorem resspwsds 22177

Description: Restriction of a product metric. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
resspwsds.y	|- ( ph -> Y = ( R ^s I ) )
resspwsds.h	|- ( ph -> H = ( ( R ↾s A ) ^s I ) )
resspwsds.b	|- B = ( Base ` H )
resspwsds.d	|- D = ( dist ` Y )
resspwsds.e	|- E = ( dist ` H )
resspwsds.i	|- ( ph -> I e. V )
resspwsds.r	|- ( ph -> R e. W )
resspwsds.a	|- ( ph -> A e. X )

Assertion

Ref	Expression
resspwsds	|- ( ph -> E = ( D |` ( B X. B ) ) )

Proof of Theorem resspwsds

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resspwsds.y	. . 3 |- ( ph -> Y = ( R ^s I ) )
2		resspwsds.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. W )
3		resspwsds.i	. . . . 5 |- ( ph -> I e. V )
4		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( R ^s I ) = ( R ^s I )
5		eqid 2622	. . . . . 6 |- (Scalar ` R ) = (Scalar ` R )
6	4, 5	pwsval 16146	. . . . 5 |- ( ( R e. W /\ I e. V ) -> ( R ^s I ) = ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) )
7	2, 3, 6	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( R ^s I ) = ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) )
8		fconstmpt 5163	. . . . 5 |- ( I X. { R } ) = ( x e. I |-> R )
9	8	oveq2i 6661	. . . 4 |- ( (Scalar ` R ) X_s ( I X. { R } ) ) = ( (Scalar ` R ) X_s ( x e. I |-> R ) )
10	7, 9	syl6eq 2672	. . 3 |- ( ph -> ( R ^s I ) = ( (Scalar ` R ) X_s ( x e. I |-> R ) ) )
11	1, 10	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> Y = ( (Scalar ` R ) X_s ( x e. I |-> R ) ) )
12		resspwsds.h	. . 3 |- ( ph -> H = ( ( R ↾s A ) ^s I ) )
13		ovex 6678	. . . . 5 |- ( R ↾s A ) e. _V
14		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ( R ↾s A ) ^s I ) = ( ( R ↾s A ) ^s I )
15		eqid 2622	. . . . . 6 |- (Scalar ` ( R ↾s A ) ) = (Scalar ` ( R ↾s A ) )
16	14, 15	pwsval 16146	. . . . 5 |- ( ( ( R ↾s A ) e. _V /\ I e. V ) -> ( ( R ↾s A ) ^s I ) = ( (Scalar ` ( R ↾s A ) ) X_s ( I X. { ( R ↾s A ) } ) ) )
17	13, 3, 16	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( ( R ↾s A ) ^s I ) = ( (Scalar ` ( R ↾s A ) ) X_s ( I X. { ( R ↾s A ) } ) ) )
18		fconstmpt 5163	. . . . 5 |- ( I X. { ( R ↾s A ) } ) = ( x e. I |-> ( R ↾s A ) )
19	18	oveq2i 6661	. . . 4 |- ( (Scalar ` ( R ↾s A ) ) X_s ( I X. { ( R ↾s A ) } ) ) = ( (Scalar ` ( R ↾s A ) ) X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) )
20	17, 19	syl6eq 2672	. . 3 |- ( ph -> ( ( R ↾s A ) ^s I ) = ( (Scalar ` ( R ↾s A ) ) X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) )
21	12, 20	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> H = ( (Scalar ` ( R ↾s A ) ) X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) )
22		resspwsds.b	. 2 |- B = ( Base ` H )
23		resspwsds.d	. 2 |- D = ( dist ` Y )
24		resspwsds.e	. 2 |- E = ( dist ` H )
25		fvexd 6203	. 2 |- ( ph -> (Scalar ` R ) e. _V )
26		fvexd 6203	. 2 |- ( ph -> (Scalar ` ( R ↾s A ) ) e. _V )
27	2	adantr 481	. 2 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> R e. W )
28		resspwsds.a	. . 3 |- ( ph -> A e. X )
29	28	adantr 481	. 2 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> A e. X )
30	11, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 3, 27, 29	ressprdsds 22176	1 |- ( ph -> E = ( D |` ( B X. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858  Scalarcsca 15944   distcds 15950   X__scprds 16106   ^_s cpws 16107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-prds 16108  df-pws 16110

This theorem is referenced by: (None)