Theorem ressprdsds 22176

Description: Restriction of a product metric. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressprdsds.y	|- ( ph -> Y = ( S X_s ( x e. I |-> R ) ) )
ressprdsds.h	|- ( ph -> H = ( T X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) )
ressprdsds.b	|- B = ( Base ` H )
ressprdsds.d	|- D = ( dist ` Y )
ressprdsds.e	|- E = ( dist ` H )
ressprdsds.s	|- ( ph -> S e. U )
ressprdsds.t	|- ( ph -> T e. V )
ressprdsds.i	|- ( ph -> I e. W )
ressprdsds.r	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> R e. X )
ressprdsds.a	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> A e. Z )

Assertion

Ref	Expression
ressprdsds	|- ( ph -> E = ( D |` ( B X. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, I   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   D( x)   R( x)   S( x)   T( x)   U( x)   E( x)   H( x)   V( x)   W( x)   X( x)   Y( x)   Z( x)

Proof of Theorem ressprdsds

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovres 6800	. . . . 5 |- ( ( f e. B /\ g e. B ) -> ( f ( D |` ( B X. B ) ) g ) = ( f D g ) )
2	1	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( f ( D |` ( B X. B ) ) g ) = ( f D g ) )
3		ressprdsds.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> A e. Z )
4		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R ↾s A ) = ( R ↾s A )
5		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( dist ` R ) = ( dist ` R )
6	4, 5	ressds 16073	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. Z -> ( dist ` R ) = ( dist ` ( R ↾s A ) ) )
7	3, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( dist ` R ) = ( dist ` ( R ↾s A ) ) )
8	7	oveqd 6667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) ( dist ` R ) ( g ` x ) ) = ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ↾s A ) ) ( g ` x ) ) )
9	8	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` R ) ( g ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ↾s A ) ) ( g ` x ) ) ) )
10	9	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` R ) ( g ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ↾s A ) ) ( g ` x ) ) ) )
11	10	rneqd 5353	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` R ) ( g ` x ) ) ) = ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ↾s A ) ) ( g ` x ) ) ) )
12	11	uneq1d 3766	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` R ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) = ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ↾s A ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) )
13	12	supeq1d 8352	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` R ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ↾s A ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
14		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( S X_s ( x e. I |-> R ) ) = ( S X_s ( x e. I |-> R ) )
15		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> R ) ) ) = ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> R ) ) )
16		ressprdsds.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. U )
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> S e. U )
18		ressprdsds.i	. . . . . . . 8 |- ( ph -> I e. W )
19	18	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> I e. W )
20		ressprdsds.r	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> R e. X )
21	20	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. I R e. X )
22	21	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> A. x e. I R e. X )
23		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
24	4, 23	ressbasss 15932	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` ( R ↾s A ) ) C_ ( Base ` R )
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( Base ` ( R ↾s A ) ) C_ ( Base ` R ) )
26	25	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. I ( Base ` ( R ↾s A ) ) C_ ( Base ` R ) )
27		ss2ixp 7921	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. I ( Base ` ( R ↾s A ) ) C_ ( Base ` R ) -> X_ x e. I ( Base ` ( R ↾s A ) ) C_ X_ x e. I ( Base ` R ) )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X_ x e. I ( Base ` ( R ↾s A ) ) C_ X_ x e. I ( Base ` R ) )
29		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) = ( T X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) )
30		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` ( T X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) ) = ( Base ` ( T X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) )
31		ressprdsds.t	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T e. V )
32		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R ↾s A ) e. _V
33	32	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A. x e. I ( R ↾s A ) e. _V
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. I ( R ↾s A ) e. _V )
35		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` ( R ↾s A ) ) = ( Base ` ( R ↾s A ) )
36	29, 30, 31, 18, 34, 35	prdsbas3 16141	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Base ` ( T X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) ) = X_ x e. I ( Base ` ( R ↾s A ) ) )
37	14, 15, 16, 18, 21, 23	prdsbas3 16141	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> R ) ) ) = X_ x e. I ( Base ` R ) )
38	28, 36, 37	3sstr4d 3648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Base ` ( T X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) ) C_ ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> R ) ) ) )
39		ressprdsds.b	. . . . . . . . . . . 12 |- B = ( Base ` H )
40		ressprdsds.h	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> H = ( T X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) )
41	40	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Base ` H ) = ( Base ` ( T X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) ) )
42	39, 41	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B = ( Base ` ( T X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) ) )
43		ressprdsds.y	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y = ( S X_s ( x e. I |-> R ) ) )
44	43	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Base ` Y ) = ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> R ) ) ) )
45	38, 42, 44	3sstr4d 3648	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B C_ ( Base ` Y ) )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> B C_ ( Base ` Y ) )
47	44	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( Base ` Y ) = ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> R ) ) ) )
48	46, 47	sseqtrd 3641	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> B C_ ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> R ) ) ) )
49		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> f e. B )
50	48, 49	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> f e. ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> R ) ) ) )
51		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> g e. B )
52	48, 51	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> g e. ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> R ) ) ) )
53		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( dist ` ( S X_s ( x e. I |-> R ) ) ) = ( dist ` ( S X_s ( x e. I |-> R ) ) )
54	14, 15, 17, 19, 22, 50, 52, 5, 53	prdsdsval2 16144	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( f ( dist ` ( S X_s ( x e. I |-> R ) ) ) g ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` R ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
55	31	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> T e. V )
56	33	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> A. x e. I ( R ↾s A ) e. _V )
57	42	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> B = ( Base ` ( T X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) ) )
58	49, 57	eleqtrd 2703	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> f e. ( Base ` ( T X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) ) )
59	51, 57	eleqtrd 2703	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> g e. ( Base ` ( T X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) ) )
60		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( dist ` ( R ↾s A ) ) = ( dist ` ( R ↾s A ) )
61		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( dist ` ( T X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) ) = ( dist ` ( T X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) )
62	29, 30, 55, 19, 56, 58, 59, 60, 61	prdsdsval2 16144	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( f ( dist ` ( T X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) ) g ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ↾s A ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
63	13, 54, 62	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( f ( dist ` ( S X_s ( x e. I |-> R ) ) ) g ) = ( f ( dist ` ( T X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) ) g ) )
64		ressprdsds.d	. . . . . . 7 |- D = ( dist ` Y )
65	43	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( dist ` Y ) = ( dist ` ( S X_s ( x e. I |-> R ) ) ) )
66	64, 65	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ph -> D = ( dist ` ( S X_s ( x e. I |-> R ) ) ) )
67	66	oveqdr 6674	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( f D g ) = ( f ( dist ` ( S X_s ( x e. I |-> R ) ) ) g ) )
68		ressprdsds.e	. . . . . . 7 |- E = ( dist ` H )
69	40	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( dist ` H ) = ( dist ` ( T X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) ) )
70	68, 69	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ph -> E = ( dist ` ( T X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) ) )
71	70	oveqdr 6674	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( f E g ) = ( f ( dist ` ( T X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) ) g ) )
72	63, 67, 71	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( f D g ) = ( f E g ) )
73	2, 72	eqtr2d 2657	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( f E g ) = ( f ( D |` ( B X. B ) ) g ) )
74	73	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ph -> A. f e. B A. g e. B ( f E g ) = ( f ( D |` ( B X. B ) ) g ) )
75		mptexg 6484	. . . . . 6 |- ( I e. W -> ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) e. _V )
76	18, 75	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) e. _V )
77		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) = ( x e. I |-> ( R ↾s A ) )
78	32, 77	dmmpti 6023	. . . . . 6 |- dom ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) = I
79	78	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) = I )
80	29, 31, 76, 30, 79, 61	prdsdsfn 16125	. . . 4 |- ( ph -> ( dist ` ( T X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) ) Fn ( ( Base ` ( T X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) ) X. ( Base ` ( T X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) ) ) )
81	42	sqxpeqd 5141	. . . . 5 |- ( ph -> ( B X. B ) = ( ( Base ` ( T X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) ) X. ( Base ` ( T X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) ) ) )
82	70, 81	fneq12d 5983	. . . 4 |- ( ph -> ( E Fn ( B X. B ) <-> ( dist ` ( T X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) ) Fn ( ( Base ` ( T X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) ) X. ( Base ` ( T X_s ( x e. I |-> ( R ↾s A ) ) ) ) ) ) )
83	80, 82	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> E Fn ( B X. B ) )
84		mptexg 6484	. . . . . . 7 |- ( I e. W -> ( x e. I |-> R ) e. _V )
85	18, 84	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. I |-> R ) e. _V )
86		dmmptg 5632	. . . . . . 7 |- ( A. x e. I R e. X -> dom ( x e. I |-> R ) = I )
87	21, 86	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> dom ( x e. I |-> R ) = I )
88	14, 16, 85, 15, 87, 53	prdsdsfn 16125	. . . . 5 |- ( ph -> ( dist ` ( S X_s ( x e. I |-> R ) ) ) Fn ( ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> R ) ) ) X. ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> R ) ) ) ) )
89	44	sqxpeqd 5141	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Base ` Y ) X. ( Base ` Y ) ) = ( ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> R ) ) ) X. ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> R ) ) ) ) )
90	66, 89	fneq12d 5983	. . . . 5 |- ( ph -> ( D Fn ( ( Base ` Y ) X. ( Base ` Y ) ) <-> ( dist ` ( S X_s ( x e. I |-> R ) ) ) Fn ( ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> R ) ) ) X. ( Base ` ( S X_s ( x e. I |-> R ) ) ) ) ) )
91	88, 90	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> D Fn ( ( Base ` Y ) X. ( Base ` Y ) ) )
92		xpss12 5225	. . . . 5 |- ( ( B C_ ( Base ` Y ) /\ B C_ ( Base ` Y ) ) -> ( B X. B ) C_ ( ( Base ` Y ) X. ( Base ` Y ) ) )
93	45, 45, 92	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( B X. B ) C_ ( ( Base ` Y ) X. ( Base ` Y ) ) )
94		fnssres 6004	. . . 4 |- ( ( D Fn ( ( Base ` Y ) X. ( Base ` Y ) ) /\ ( B X. B ) C_ ( ( Base ` Y ) X. ( Base ` Y ) ) ) -> ( D |` ( B X. B ) ) Fn ( B X. B ) )
95	91, 93, 94	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( D |` ( B X. B ) ) Fn ( B X. B ) )
96		eqfnov2 6767	. . 3 |- ( ( E Fn ( B X. B ) /\ ( D |` ( B X. B ) ) Fn ( B X. B ) ) -> ( E = ( D |` ( B X. B ) ) <-> A. f e. B A. g e. B ( f E g ) = ( f ( D |` ( B X. B ) ) g ) ) )
97	83, 95, 96	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( E = ( D |` ( B X. B ) ) <-> A. f e. B A. g e. B ( f E g ) = ( f ( D |` ( B X. B ) ) g ) ) )
98	74, 97	mpbird 247	1 |- ( ph -> E = ( D |` ( B X. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   X_cixp 7908   supcsup 8346   0cc0 9936   RR*cxr 10073   < clt 10074   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   distcds 15950   X__scprds 16106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-prds 16108

This theorem is referenced by:  resspwsds  22177  prdsbnd2  33594