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Theorem rngccatidALTV 41989
Description: Lemma for rngccatALTV 41990. (New usage is discouraged.) (Contributed by AV, 27-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngccatALTV.c |- C = (RngCatALTV ` U )
rngccatidALTV.b |- B = ( Base ` C )
Assertion
Ref Expression
rngccatidALTV |- ( U e. V -> ( C e. Cat /\ ( Id ` C ) = ( x e. B |-> ( _I |` ( Base ` x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, B   x, C   x, U   x, V
Proof of Theorem rngccatidALTV
Dummy variables f g h w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rngccatidALTV.b . . 3 |- B = ( Base ` C )
21a1i 11 . 2 |- ( U e. V -> B = ( Base ` C ) )
3 eqidd 2623 . 2 |- ( U e. V -> ( Hom ` C ) = ( Hom ` C ) )
4 eqidd 2623 . 2 |- ( U e. V -> (comp ` C ) = (comp ` C ) )
5 rngccatALTV.c . . . 4 |- C = (RngCatALTV ` U )
6 fvex 6201 . . . 4 |- (RngCatALTV ` U ) e. _V
75, 6eqeltri 2697 . . 3 |- C e. _V
87a1i 11 . 2 |- ( U e. V -> C e. _V )
9 biid 251 . 2 |- ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) <-> ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) )
10 simpl 473 . . . . . 6 |- ( ( U e. V /\ x e. B ) -> U e. V )
115, 1, 10rngcbasALTV 41983 . . . . 5 |- ( ( U e. V /\ x e. B ) -> B = ( U i^i Rng ) )
12 eleq2 2690 . . . . . . . 8 |- ( B = ( U i^i Rng ) -> ( x e. B <-> x e. ( U i^i Rng ) ) )
13 elin 3796 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( U i^i Rng ) <-> ( x e. U /\ x e. Rng ) )
1413simprbi 480 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( U i^i Rng ) -> x e. Rng )
1512, 14syl6bi 243 . . . . . . 7 |- ( B = ( U i^i Rng ) -> ( x e. B -> x e. Rng ) )
1615com12 32 . . . . . 6 |- ( x e. B -> ( B = ( U i^i Rng ) -> x e. Rng ) )
1716adantl 482 . . . . 5 |- ( ( U e. V /\ x e. B ) -> ( B = ( U i^i Rng ) -> x e. Rng ) )
1811, 17mpd 15 . . . 4 |- ( ( U e. V /\ x e. B ) -> x e. Rng )
19 eqid 2622 . . . . 5 |- ( Base ` x ) = ( Base ` x )
2019idrnghm 41908 . . . 4 |- ( x e. Rng -> ( _I |` ( Base ` x ) ) e. ( x RngHomo x ) )
2118, 20syl 17 . . 3 |- ( ( U e. V /\ x e. B ) -> ( _I |` ( Base ` x ) ) e. ( x RngHomo x ) )
22 eqid 2622 . . . 4 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
23 simpr 477 . . . 4 |- ( ( U e. V /\ x e. B ) -> x e. B )
245, 1, 10, 22, 23, 23rngchomALTV 41985 . . 3 |- ( ( U e. V /\ x e. B ) -> ( x ( Hom ` C ) x ) = ( x RngHomo x ) )
2521, 24eleqtrrd 2704 . 2 |- ( ( U e. V /\ x e. B ) -> ( _I |` ( Base ` x ) ) e. ( x ( Hom ` C ) x ) )
26 simpl 473 . . . 4 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> U e. V )
27 eqid 2622 . . . 4 |- (comp ` C ) = (comp ` C )
28 simpl 473 . . . . . 6 |- ( ( w e. B /\ x e. B ) -> w e. B )
29283ad2ant1 1082 . . . . 5 |- ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> w e. B )
3029adantl 482 . . . 4 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> w e. B )
31 simpr 477 . . . . . 6 |- ( ( w e. B /\ x e. B ) -> x e. B )
32313ad2ant1 1082 . . . . 5 |- ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> x e. B )
3332adantl 482 . . . 4 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> x e. B )
34 simp1 1061 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. V /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> U e. V )
35283ad2ant3 1084 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. V /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> w e. B )
36313ad2ant3 1084 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. V /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> x e. B )
375, 1, 34, 22, 35, 36rngchomALTV 41985 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. V /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> ( w ( Hom ` C ) x ) = ( w RngHomo x ) )
3837eleq2d 2687 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. V /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) <-> f e. ( w RngHomo x ) ) )
3938biimpd 219 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. V /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) -> f e. ( w RngHomo x ) ) )
40393exp 1264 . . . . . . . . 9 |- ( U e. V -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) -> f e. ( w RngHomo x ) ) ) ) )
4140com14 96 . . . . . . . 8 |- ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( U e. V -> f e. ( w RngHomo x ) ) ) ) )
42413ad2ant1 1082 . . . . . . 7 |- ( ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( U e. V -> f e. ( w RngHomo x ) ) ) ) )
4342com13 88 . . . . . 6 |- ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) -> ( U e. V -> f e. ( w RngHomo x ) ) ) ) )
44433imp 1256 . . . . 5 |- ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( U e. V -> f e. ( w RngHomo x ) ) )
4544impcom 446 . . . 4 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> f e. ( w RngHomo x ) )
4621expcom 451 . . . . . . 7 |- ( x e. B -> ( U e. V -> ( _I |` ( Base ` x ) ) e. ( x RngHomo x ) ) )
4746adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( U e. V -> ( _I |` ( Base ` x ) ) e. ( x RngHomo x ) ) )
48473ad2ant1 1082 . . . . 5 |- ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( U e. V -> ( _I |` ( Base ` x ) ) e. ( x RngHomo x ) ) )
4948impcom 446 . . . 4 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( _I |` ( Base ` x ) ) e. ( x RngHomo x ) )
505, 1, 26, 27, 30, 33, 33, 45, 49rngccoALTV 41988 . . 3 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( ( _I |` ( Base ` x ) ) ( <. w , x >. (comp ` C ) x ) f ) = ( ( _I |` ( Base ` x ) ) o. f ) )
51 simpl 473 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. V /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> U e. V )
52 simprl 794 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. V /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> w e. B )
53 simprr 796 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. V /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> x e. B )
545, 1, 51, 22, 52, 53elrngchomALTV 41986 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. V /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) -> f : ( Base ` w ) --> ( Base ` x ) ) )
5554ex 450 . . . . . . . . . 10 |- ( U e. V -> ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) -> f : ( Base ` w ) --> ( Base ` x ) ) ) )
5655com13 88 . . . . . . . . 9 |- ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) -> ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( U e. V -> f : ( Base ` w ) --> ( Base ` x ) ) ) )
57 fcoi2 6079 . . . . . . . . 9 |- ( f : ( Base ` w ) --> ( Base ` x ) -> ( ( _I |` ( Base ` x ) ) o. f ) = f )
5856, 57syl8 76 . . . . . . . 8 |- ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) -> ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( U e. V -> ( ( _I |` ( Base ` x ) ) o. f ) = f ) ) )
59583ad2ant1 1082 . . . . . . 7 |- ( ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) -> ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( U e. V -> ( ( _I |` ( Base ` x ) ) o. f ) = f ) ) )
6059com12 32 . . . . . 6 |- ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) -> ( U e. V -> ( ( _I |` ( Base ` x ) ) o. f ) = f ) ) )
6160a1d 25 . . . . 5 |- ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) -> ( U e. V -> ( ( _I |` ( Base ` x ) ) o. f ) = f ) ) ) )
62613imp 1256 . . . 4 |- ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( U e. V -> ( ( _I |` ( Base ` x ) ) o. f ) = f ) )
6362impcom 446 . . 3 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( ( _I |` ( Base ` x ) ) o. f ) = f )
6450, 63eqtrd 2656 . 2 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( ( _I |` ( Base ` x ) ) ( <. w , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f )
65 simp3 1063 . . . . . . . . 9 |- ( ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ U e. V ) -> U e. V )
6631adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> x e. B )
67663ad2ant2 1083 . . . . . . . . 9 |- ( ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ U e. V ) -> x e. B )
68 simprl 794 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> y e. B )
69683ad2ant2 1083 . . . . . . . . 9 |- ( ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ U e. V ) -> y e. B )
7047adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( U e. V -> ( _I |` ( Base ` x ) ) e. ( x RngHomo x ) ) )
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) -> ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( U e. V -> ( _I |` ( Base ` x ) ) e. ( x RngHomo x ) ) ) )
72713imp 1256 . . . . . . . . 9 |- ( ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ U e. V ) -> ( _I |` ( Base ` x ) ) e. ( x RngHomo x ) )
73 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) ) -> U e. V )
7466adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) ) -> x e. B )
7568adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) ) -> y e. B )
765, 1, 73, 22, 74, 75rngchomALTV 41985 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) ) -> ( x ( Hom ` C ) y ) = ( x RngHomo y ) )
7776eleq2d 2687 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) ) -> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) <-> g e. ( x RngHomo y ) ) )
7877biimpd 219 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) ) -> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) -> g e. ( x RngHomo y ) ) )
7978ex 450 . . . . . . . . . . 11 |- ( U e. V -> ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) -> g e. ( x RngHomo y ) ) ) )
8079com13 88 . . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) -> ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( U e. V -> g e. ( x RngHomo y ) ) ) )
81803imp 1256 . . . . . . . . 9 |- ( ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ U e. V ) -> g e. ( x RngHomo y ) )
825, 1, 65, 27, 67, 67, 69, 72, 81rngccoALTV 41988 . . . . . . . 8 |- ( ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ U e. V ) -> ( g ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) ( _I |` ( Base ` x ) ) ) = ( g o. ( _I |` ( Base ` x ) ) ) )
835, 1, 73, 22, 74, 75elrngchomALTV 41986 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) ) -> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) -> g : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) ) )
8483ex 450 . . . . . . . . . . 11 |- ( U e. V -> ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) -> g : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) ) ) )
8584com13 88 . . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) -> ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( U e. V -> g : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) ) ) )
86853imp 1256 . . . . . . . . 9 |- ( ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ U e. V ) -> g : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) )
87 fcoi1 6078 . . . . . . . . 9 |- ( g : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) -> ( g o. ( _I |` ( Base ` x ) ) ) = g )
8886, 87syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ U e. V ) -> ( g o. ( _I |` ( Base ` x ) ) ) = g )
8982, 88eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ U e. V ) -> ( g ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) ( _I |` ( Base ` x ) ) ) = g )
90893exp 1264 . . . . . 6 |- ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) -> ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( U e. V -> ( g ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) ( _I |` ( Base ` x ) ) ) = g ) ) )
91903ad2ant2 1083 . . . . 5 |- ( ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) -> ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( U e. V -> ( g ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) ( _I |` ( Base ` x ) ) ) = g ) ) )
9291expdcom 455 . . . 4 |- ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) -> ( U e. V -> ( g ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) ( _I |` ( Base ` x ) ) ) = g ) ) ) )
93923imp 1256 . . 3 |- ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( U e. V -> ( g ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) ( _I |` ( Base ` x ) ) ) = g ) )
9493impcom 446 . 2 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( g ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) ( _I |` ( Base ` x ) ) ) = g )
95 simp2l 1087 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. V /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> y e. B )
965, 1, 34, 22, 36, 95rngchomALTV 41985 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. V /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> ( x ( Hom ` C ) y ) = ( x RngHomo y ) )
9796eleq2d 2687 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. V /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) <-> g e. ( x RngHomo y ) ) )
9897biimpd 219 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. V /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) -> g e. ( x RngHomo y ) ) )
99983exp 1264 . . . . . . . . 9 |- ( U e. V -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) -> g e. ( x RngHomo y ) ) ) ) )
10099com14 96 . . . . . . . 8 |- ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( U e. V -> g e. ( x RngHomo y ) ) ) ) )
1011003ad2ant2 1083 . . . . . . 7 |- ( ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( U e. V -> g e. ( x RngHomo y ) ) ) ) )
102101com13 88 . . . . . 6 |- ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) -> ( U e. V -> g e. ( x RngHomo y ) ) ) ) )
1031023imp 1256 . . . . 5 |- ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( U e. V -> g e. ( x RngHomo y ) ) )
104103impcom 446 . . . 4 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> g e. ( x RngHomo y ) )
105 rnghmco 41907 . . . 4 |- ( ( g e. ( x RngHomo y ) /\ f e. ( w RngHomo x ) ) -> ( g o. f ) e. ( w RngHomo y ) )
106104, 45, 105syl2anc 693 . . 3 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( g o. f ) e. ( w RngHomo y ) )
107 simp2l 1087 . . . . 5 |- ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> y e. B )
108107adantl 482 . . . 4 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> y e. B )
1095, 1, 26, 27, 30, 33, 108, 45, 104rngccoALTV 41988 . . 3 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( g ( <. w , x >. (comp ` C ) y ) f ) = ( g o. f ) )
1105, 1, 26, 22, 30, 108rngchomALTV 41985 . . 3 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( w ( Hom ` C ) y ) = ( w RngHomo y ) )
111106, 109, 1103eltr4d 2716 . 2 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( g ( <. w , x >. (comp ` C ) y ) f ) e. ( w ( Hom ` C ) y ) )
112 coass 5654 . . . 4 |- ( ( h o. g ) o. f ) = ( h o. ( g o. f ) )
113 simp2r 1088 . . . . . 6 |- ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> z e. B )
114113adantl 482 . . . . 5 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> z e. B )
115 simp2r 1088 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. V /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> z e. B )
1165, 1, 34, 22, 95, 115rngchomALTV 41985 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. V /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> ( y ( Hom ` C ) z ) = ( y RngHomo z ) )
117116eleq2d 2687 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. V /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> ( h e. ( y ( Hom ` C ) z ) <-> h e. ( y RngHomo z ) ) )
118117biimpd 219 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. V /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. B ) ) -> ( h e. ( y ( Hom ` C ) z ) -> h e. ( y RngHomo z ) ) )
1191183exp 1264 . . . . . . . . . . 11 |- ( U e. V -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( h e. ( y ( Hom ` C ) z ) -> h e. ( y RngHomo z ) ) ) ) )
120119com14 96 . . . . . . . . . 10 |- ( h e. ( y ( Hom ` C ) z ) -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( U e. V -> h e. ( y RngHomo z ) ) ) ) )
1211203ad2ant3 1084 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( U e. V -> h e. ( y RngHomo z ) ) ) ) )
122121com13 88 . . . . . . . 8 |- ( ( w e. B /\ x e. B ) -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) -> ( U e. V -> h e. ( y RngHomo z ) ) ) ) )
1231223imp 1256 . . . . . . 7 |- ( ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( U e. V -> h e. ( y RngHomo z ) ) )
124123impcom 446 . . . . . 6 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> h e. ( y RngHomo z ) )
125 rnghmco 41907 . . . . . 6 |- ( ( h e. ( y RngHomo z ) /\ g e. ( x RngHomo y ) ) -> ( h o. g ) e. ( x RngHomo z ) )
126124, 104, 125syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( h o. g ) e. ( x RngHomo z ) )
1275, 1, 26, 27, 30, 33, 114, 45, 126rngccoALTV 41988 . . . 4 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( ( h o. g ) ( <. w , x >. (comp ` C ) z ) f ) = ( ( h o. g ) o. f ) )
1285, 1, 26, 27, 30, 108, 114, 106, 124rngccoALTV 41988 . . . 4 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( h ( <. w , y >. (comp ` C ) z ) ( g o. f ) ) = ( h o. ( g o. f ) ) )
129112, 127, 1283eqtr4a 2682 . . 3 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( ( h o. g ) ( <. w , x >. (comp ` C ) z ) f ) = ( h ( <. w , y >. (comp ` C ) z ) ( g o. f ) ) )
1305, 1, 26, 27, 33, 108, 114, 104, 124rngccoALTV 41988 . . . 4 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( h ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) g ) = ( h o. g ) )
131130oveq1d 6665 . . 3 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( ( h ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) g ) ( <. w , x >. (comp ` C ) z ) f ) = ( ( h o. g ) ( <. w , x >. (comp ` C ) z ) f ) )
132109oveq2d 6666 . . 3 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( h ( <. w , y >. (comp ` C ) z ) ( g ( <. w , x >. (comp ` C ) y ) f ) ) = ( h ( <. w , y >. (comp ` C ) z ) ( g o. f ) ) )
133129, 131, 1323eqtr4d 2666 . 2 |- ( ( U e. V /\ ( ( w e. B /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ ( f e. ( w ( Hom ` C ) x ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ h e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) ) -> ( ( h ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) g ) ( <. w , x >. (comp ` C ) z ) f ) = ( h ( <. w , y >. (comp ` C ) z ) ( g ( <. w , x >. (comp ` C ) y ) f ) ) )
1342, 3, 4, 8, 9, 25, 64, 94, 111, 133iscatd2 16342 1 |- ( U e. V -> ( C e. Cat /\ ( Id ` C ) = ( x e. B |-> ( _I |` ( Base ` x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Catccat 16325   Idccid 16326  Rngcrng 41874   RngHomo crngh 41885  RngCatALTVcrngcALTV 41958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-cat 16329  df-cid 16330  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-ghm 17658  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-mgmhm 41779  df-rng0 41875  df-rnghomo 41887  df-rngcALTV 41960
This theorem is referenced by:  rngccatALTV  41990  rngcidALTV  41991  rhmsubcALTVlem3  42106
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