Theorem smflimlem1 40979

Description: Lemma for the proof that the limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable, Proposition 121F (a) of [Fremlin1] p. 38 . This lemma proves that ( D i^i I ) is in the subspace sigma-algebra induced by D. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflimlem1.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
smflimlem1.2	|- ( ph -> S e. SAlg )
smflimlem1.3	|- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> }
smflimlem1.4	|- P = ( m e. Z , k e. NN |-> { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } )
smflimlem1.5	|- H = ( m e. Z , k e. NN |-> ( C ` ( m P k ) ) )
smflimlem1.6	|- I = |^|_ k e. NN U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m H k )
smflimlem1.7	|- ( ( ph /\ r e. ran P ) -> ( C ` r ) e. r )

Assertion

Ref	Expression
smflimlem1	|- ( ph -> ( D i^i I ) e. ( S ↾t D ) )

Distinct variable groups:   x, k   C, r   x, F   P, r   S, k, m, n   S, s   n, Z, k, m, x   ph, k, m, n   k, r, m, ph

Allowed substitution hints:   ph( x, s)   A( x, k, m, n, s, r)   C( x, k, m, n, s)   D( x, k, m, n, s, r)   P( x, k, m, n, s)   S( x, r)   F( k, m, n, s, r)   H( x, k, m, n, s, r)   I( x, k, m, n, s, r)   M( x, k, m, n, s, r)   Z( s, r)

Proof of Theorem smflimlem1

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smflimlem1.2	. 2 |- ( ph -> S e. SAlg )
2		smflimlem1.3	. . . 4 |- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> }
3		smflimlem1.1	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
5	3, 4	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- Z e. _V
6		uzssz 11707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
7	3	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. Z <-> n e. ( ZZ>= ` M ) )
8	7	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. Z -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
9	6, 8	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. Z -> n e. ZZ )
10		uzid 11702	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> n e. ( ZZ>= ` n ) )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( n e. Z -> n e. ( ZZ>= ` n ) )
12		ne0i 3921	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( ZZ>= ` n ) -> ( ZZ>= ` n ) =/= (/) )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( n e. Z -> ( ZZ>= ` n ) =/= (/) )
14		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( F ` m ) e. _V
15	14	dmex 7099	. . . . . . . . . 10 |- dom ( F ` m ) e. _V
16	15	rgenw 2924	. . . . . . . . 9 |- A. m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( n e. Z -> A. m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V )
18		iinexg 4824	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ZZ>= ` n ) =/= (/) /\ A. m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V ) -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V )
19	13, 17, 18	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( n e. Z -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V )
20	19	rgen 2922	. . . . . 6 |- A. n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V
21		iunexg 7143	. . . . . 6 |- ( ( Z e. _V /\ A. n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V ) -> U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V )
22	5, 20, 21	mp2an 708	. . . . 5 |- U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V
23	22	rabex 4813	. . . 4 |- { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> } e. _V
24	2, 23	eqeltri 2697	. . 3 |- D e. _V
25	24	a1i 11	. 2 |- ( ph -> D e. _V )
26		smflimlem1.6	. . 3 |- I = |^|_ k e. NN U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m H k )
27		nnct 12780	. . . . 5 |- NN ~<_ om
28	27	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> NN ~<_ om )
29		nnn0 39595	. . . . 5 |- NN =/= (/)
30	29	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> NN =/= (/) )
31	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> S e. SAlg )
32	3	uzct 39232	. . . . . 6 |- Z ~<_ om
33	32	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> Z ~<_ om )
34	31	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. Z ) -> S e. SAlg )
35		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` n )
36	35	uzct 39232	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` n ) ~<_ om
37	36	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. Z ) -> ( ZZ>= ` n ) ~<_ om )
38	13	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. Z ) -> ( ZZ>= ` n ) =/= (/) )
39		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ph )
40	39	adantllr 755	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ph )
41		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. NN /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
42	41	adantlll 754	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
43	3	uztrn2 11705	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) -> j e. Z )
44	43	ssd 39252	. . . . . . . . 9 |- ( n e. Z -> ( ZZ>= ` n ) C_ Z )
45	44	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. Z /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> m e. Z )
46	45	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> m e. Z )
47		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ m e. Z ) -> m e. Z )
48		simp2 1062	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ m e. Z ) -> k e. NN )
49		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( C ` ( m P k ) ) e. _V
50	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ m e. Z ) -> ( C ` ( m P k ) ) e. _V )
51		smflimlem1.5	. . . . . . . . . 10 |- H = ( m e. Z , k e. NN |-> ( C ` ( m P k ) ) )
52	51	ovmpt4g 6783	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. Z /\ k e. NN /\ ( C ` ( m P k ) ) e. _V ) -> ( m H k ) = ( C ` ( m P k ) ) )
53	47, 48, 50, 52	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ m e. Z ) -> ( m H k ) = ( C ` ( m P k ) ) )
54		simp1 1061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ m e. Z ) -> ph )
55		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } = { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) }
56	55, 1	rabexd 4814	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } e. _V )
57	54, 56	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ m e. Z ) -> { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } e. _V )
58		smflimlem1.4	. . . . . . . . . . . 12 |- P = ( m e. Z , k e. NN |-> { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } )
59	58	ovmpt4g 6783	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. Z /\ k e. NN /\ { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } e. _V ) -> ( m P k ) = { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } )
60	47, 48, 57, 59	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ m e. Z ) -> ( m P k ) = { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } )
61		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 |- { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } C_ S
62	60, 61	syl6eqss 3655	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ m e. Z ) -> ( m P k ) C_ S )
63	56	ralrimivw 2967	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. k e. NN { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } e. _V )
64	63	ralrimivw 2967	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. m e. Z A. k e. NN { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } e. _V )
65	64	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ m e. Z ) -> A. m e. Z A. k e. NN { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } e. _V )
66	58	elrnmpt2id 39427	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. Z /\ k e. NN /\ A. m e. Z A. k e. NN { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } e. _V ) -> ( m P k ) e. ran P )
67	47, 48, 65, 66	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ m e. Z ) -> ( m P k ) e. ran P )
68		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( m P k ) e. _V
69		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = ( m P k ) -> ( r e. ran P <-> ( m P k ) e. ran P ) )
70	69	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = ( m P k ) -> ( ( ph /\ r e. ran P ) <-> ( ph /\ ( m P k ) e. ran P ) ) )
71		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = ( m P k ) -> ( C ` r ) = ( C ` ( m P k ) ) )
72		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = ( m P k ) -> r = ( m P k ) )
73	71, 72	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = ( m P k ) -> ( ( C ` r ) e. r <-> ( C ` ( m P k ) ) e. ( m P k ) ) )
74	70, 73	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( m P k ) -> ( ( ( ph /\ r e. ran P ) -> ( C ` r ) e. r ) <-> ( ( ph /\ ( m P k ) e. ran P ) -> ( C ` ( m P k ) ) e. ( m P k ) ) ) )
75		smflimlem1.7	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ r e. ran P ) -> ( C ` r ) e. r )
76	68, 74, 75	vtocl 3259	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m P k ) e. ran P ) -> ( C ` ( m P k ) ) e. ( m P k ) )
77	54, 67, 76	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ m e. Z ) -> ( C ` ( m P k ) ) e. ( m P k ) )
78	62, 77	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ m e. Z ) -> ( C ` ( m P k ) ) e. S )
79	53, 78	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN /\ m e. Z ) -> ( m H k ) e. S )
80	40, 42, 46, 79	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( m H k ) e. S )
81	34, 37, 38, 80	saliincl 40545	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. Z ) -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m H k ) e. S )
82	31, 33, 81	saliuncl 40542	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m H k ) e. S )
83	1, 28, 30, 82	saliincl 40545	. . 3 |- ( ph -> |^|_ k e. NN U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m H k ) e. S )
84	26, 83	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ph -> I e. S )
85		incom 3805	. 2 |- ( D i^i I ) = ( I i^i D )
86	1, 25, 84, 85	elrestd 39291	1 |- ( ph -> ( D i^i I ) e. ( S ↾t D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   (/)c0 3915   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ~~> cli 14215   ↾_t crest 16081  SAlgcsalg 40528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rest 16083  df-salg 40529

This theorem is referenced by:  smflimlem5  40983