Theorem smfsuplem1 41017

Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfsuplem1.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
smfsuplem1.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
smfsuplem1.s	|- ( ph -> S e. SAlg )
smfsuplem1.f	|- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
smfsuplem1.d	|- D = { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( F ` n ) ` x ) <_ y }
smfsuplem1.g	|- G = ( x e. D |-> sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
smfsuplem1.a	|- ( ph -> A e. RR )
smfsuplem1.h	|- ( ph -> H : Z --> S )
smfsuplem1.i	|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( `' ( F ` n ) " ( -oo (,] A ) ) = ( ( H ` n ) i^i dom ( F ` n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
smfsuplem1	|- ( ph -> ( `' G " ( -oo (,] A ) ) e. ( S ↾t D ) )

Distinct variable groups:   A, n, x   D, n, x, y   x, F, y   n, G, x   n, H, x, y   n, M   S, n   n, Z, x, y   ph, n, x, y

Allowed substitution hints:   A( y)   S( x, y)   F( n)   G( y)   M( x, y)

Proof of Theorem smfsuplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfsuplem1.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S e. SAlg )
2	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> S e. SAlg )
3		smfsuplem1.f	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
4	3	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) e. (SMblFn ` S ) )
5		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- dom ( F ` n ) = dom ( F ` n )
6	2, 4, 5	smff 40941	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) : dom ( F ` n ) --> RR )
7	6	ffnd 6046	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) Fn dom ( F ` n ) )
8	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) ) -> ( F ` n ) Fn dom ( F ` n ) )
9		smfsuplem1.d	. . . . . . . . . . . . 13 |- D = { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( F ` n ) ` x ) <_ y }
10		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . 13 |- { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( F ` n ) ` x ) <_ y } C_ |^|_ n e. Z dom ( F ` n )
11	9, 10	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . 12 |- D C_ |^|_ n e. Z dom ( F ` n )
12		iinss2 4572	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. Z -> |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) C_ dom ( F ` n ) )
13	11, 12	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. Z -> D C_ dom ( F ` n ) )
14	13	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) ) -> D C_ dom ( F ` n ) )
15		cnvimass 5485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' G " ( -oo (,] A ) ) C_ dom G
16	15	sseli 3599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) -> x e. dom G )
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) ) -> x e. dom G )
18		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n ( ph /\ x e. D )
19		smfsuplem1.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> M e. ZZ )
20		uzid 11702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
22		smfsuplem1.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Z = ( ZZ>= ` M )
23	21, 22	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> M e. Z )
24	23	ne0d 39308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> Z =/= (/) )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> Z =/= (/) )
26	6	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) : dom ( F ` n ) --> RR )
27	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. D /\ n e. Z ) -> |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) C_ dom ( F ` n ) )
28	11	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. D -> x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. D /\ n e. Z ) -> x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) )
30	27, 29	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. D /\ n e. Z ) -> x e. dom ( F ` n ) )
31	30	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z ) -> x e. dom ( F ` n ) )
32	26, 31	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. RR )
33	9	rabeq2i 3197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. D <-> ( x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) /\ E. y e. RR A. n e. Z ( ( F ` n ) ` x ) <_ y ) )
34	33	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. D -> E. y e. RR A. n e. Z ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
35	34	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> E. y e. RR A. n e. Z ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
36	18, 25, 32, 35	suprclrnmpt 39466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. RR )
37		smfsuplem1.g	. . . . . . . . . . . . . 14 |- G = ( x e. D |-> sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
38	36, 37	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G : D --> RR )
39	38	fdmd 39420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom G = D )
40	39	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) ) -> dom G = D )
41	17, 40	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) ) -> x e. D )
42	14, 41	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) ) -> x e. dom ( F ` n ) )
43		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . 11 |- -oo e. RR*
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) ) -> -oo e. RR* )
45		smfsuplem1.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR )
46	45	rexrd 10089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR* )
47	46	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) ) -> A e. RR* )
48	32	an32s 846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. D ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. RR )
49	41, 48	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. RR )
50	49	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. RR* )
51	49	mnfltd 11958	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) ) -> -oo < ( ( F ` n ) ` x ) )
52	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) ) -> x e. dom G )
53	38	ffdmd 6063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G : dom G --> RR )
54	53	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( G ` x ) e. RR )
55	52, 54	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) ) -> ( G ` x ) e. RR )
56	55	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) ) -> ( G ` x ) e. RR )
57	45	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) ) -> A e. RR )
58		an32 839	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. D ) <-> ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z ) )
59	58	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. D ) -> ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z ) )
60	18, 32, 35	suprubrnmpt 39468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z ) -> ( ( F ` n ) ` x ) <_ sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. D ) -> ( ( F ` n ) ` x ) <_ sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
62	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> G = ( x e. D |-> sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) )
63	62, 36	fvmpt2d 6293	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( G ` x ) = sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
64	63	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. D ) -> ( G ` x ) = sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
65	61, 64	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. D ) -> ( ( F ` n ) ` x ) <_ ( G ` x ) )
66	41, 65	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) ) -> ( ( F ` n ) ` x ) <_ ( G ` x ) )
67	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) ) -> -oo e. RR* )
68	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) ) -> A e. RR* )
69		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) ) -> x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) )
70	38	ffnd 6046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> G Fn D )
71		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G Fn D -> ( x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) <-> ( x e. D /\ ( G ` x ) e. ( -oo (,] A ) ) ) )
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) <-> ( x e. D /\ ( G ` x ) e. ( -oo (,] A ) ) ) )
73	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) ) -> ( x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) <-> ( x e. D /\ ( G ` x ) e. ( -oo (,] A ) ) ) )
74	69, 73	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) ) -> ( x e. D /\ ( G ` x ) e. ( -oo (,] A ) ) )
75	74	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) ) -> ( G ` x ) e. ( -oo (,] A ) )
76	67, 68, 75	iocleubd 39786	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) ) -> ( G ` x ) <_ A )
77	76	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) ) -> ( G ` x ) <_ A )
78	49, 56, 57, 66, 77	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) ) -> ( ( F ` n ) ` x ) <_ A )
79	44, 47, 50, 51, 78	eliocd 39730	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. ( -oo (,] A ) )
80	8, 42, 79	elpreimad 39454	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) ) -> x e. ( `' ( F ` n ) " ( -oo (,] A ) ) )
81	80	ssd 39252	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( `' G " ( -oo (,] A ) ) C_ ( `' ( F ` n ) " ( -oo (,] A ) ) )
82		smfsuplem1.i	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( `' ( F ` n ) " ( -oo (,] A ) ) = ( ( H ` n ) i^i dom ( F ` n ) ) )
83		inss1 3833	. . . . . . . 8 |- ( ( H ` n ) i^i dom ( F ` n ) ) C_ ( H ` n )
84	82, 83	syl6eqss 3655	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( `' ( F ` n ) " ( -oo (,] A ) ) C_ ( H ` n ) )
85	81, 84	sstrd 3613	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( `' G " ( -oo (,] A ) ) C_ ( H ` n ) )
86	85	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. Z ( `' G " ( -oo (,] A ) ) C_ ( H ` n ) )
87		ssiin 4570	. . . . 5 |- ( ( `' G " ( -oo (,] A ) ) C_ |^|_ n e. Z ( H ` n ) <-> A. n e. Z ( `' G " ( -oo (,] A ) ) C_ ( H ` n ) )
88	86, 87	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> ( `' G " ( -oo (,] A ) ) C_ |^|_ n e. Z ( H ` n ) )
89	15, 39	syl5sseq 3653	. . . 4 |- ( ph -> ( `' G " ( -oo (,] A ) ) C_ D )
90	88, 89	ssind 3837	. . 3 |- ( ph -> ( `' G " ( -oo (,] A ) ) C_ ( |^|_ n e. Z ( H ` n ) i^i D ) )
91		iniin1 39309	. . . . 5 |- ( Z =/= (/) -> ( |^|_ n e. Z ( H ` n ) i^i D ) = |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) )
92	24, 91	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( |^|_ n e. Z ( H ` n ) i^i D ) = |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) )
93	70	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) ) -> G Fn D )
94		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) ) -> x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) )
95	23	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) ) -> M e. Z )
96		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( n = M -> ( H ` n ) = ( H ` M ) )
97	96	ineq1d 3813	. . . . . . . . 9 |- ( n = M -> ( ( H ` n ) i^i D ) = ( ( H ` M ) i^i D ) )
98	97	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( n = M -> ( x e. ( ( H ` n ) i^i D ) <-> x e. ( ( H ` M ) i^i D ) ) )
99	94, 95, 98	eliind 39240	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) ) -> x e. ( ( H ` M ) i^i D ) )
100		elinel2 3800	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ( H ` M ) i^i D ) -> x e. D )
101	99, 100	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) ) -> x e. D )
102	43	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) ) -> -oo e. RR* )
103	46	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) ) -> A e. RR* )
104	63, 36	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( G ` x ) e. RR )
105	104	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( G ` x ) e. RR* )
106	101, 105	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) ) -> ( G ` x ) e. RR* )
107	100	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( H ` M ) i^i D ) ) -> x e. D )
108	107, 104	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( H ` M ) i^i D ) ) -> ( G ` x ) e. RR )
109	108	mnfltd 11958	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( H ` M ) i^i D ) ) -> -oo < ( G ` x ) )
110	99, 109	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) ) -> -oo < ( G ` x ) )
111	101, 63	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) ) -> ( G ` x ) = sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
112		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n ph
113		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n x
114		nfii1 4551	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D )
115	113, 114	nfel 2777	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D )
116	112, 115	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ n ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) )
117		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) ) /\ n e. Z ) -> ph )
118		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) ) /\ n e. Z ) -> n e. Z )
119		eliinid 39294	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) /\ n e. Z ) -> x e. ( ( H ` n ) i^i D ) )
120	119	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) ) /\ n e. Z ) -> x e. ( ( H ` n ) i^i D ) )
121		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( H ` n ) i^i D ) -> x e. ( H ` n ) )
122	121	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. ( ( H ` n ) i^i D ) ) -> x e. ( H ` n ) )
123		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( ( H ` n ) i^i D ) -> x e. D )
124	123	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. Z /\ x e. ( ( H ` n ) i^i D ) ) -> x e. D )
125	30	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. Z /\ x e. D ) -> x e. dom ( F ` n ) )
126	124, 125	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. Z /\ x e. ( ( H ` n ) i^i D ) ) -> x e. dom ( F ` n ) )
127	126	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. ( ( H ` n ) i^i D ) ) -> x e. dom ( F ` n ) )
128	122, 127	elind 3798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. ( ( H ` n ) i^i D ) ) -> x e. ( ( H ` n ) i^i dom ( F ` n ) ) )
129	82	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. ( ( H ` n ) i^i D ) ) -> ( `' ( F ` n ) " ( -oo (,] A ) ) = ( ( H ` n ) i^i dom ( F ` n ) ) )
130	128, 129	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. ( ( H ` n ) i^i D ) ) -> x e. ( `' ( F ` n ) " ( -oo (,] A ) ) )
131	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. ( `' ( F ` n ) " ( -oo (,] A ) ) ) -> -oo e. RR* )
132	46	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. ( `' ( F ` n ) " ( -oo (,] A ) ) ) -> A e. RR* )
133		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. ( `' ( F ` n ) " ( -oo (,] A ) ) ) -> x e. ( `' ( F ` n ) " ( -oo (,] A ) ) )
134		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` n ) Fn dom ( F ` n ) -> ( x e. ( `' ( F ` n ) " ( -oo (,] A ) ) <-> ( x e. dom ( F ` n ) /\ ( ( F ` n ) ` x ) e. ( -oo (,] A ) ) ) )
135	7, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. ( `' ( F ` n ) " ( -oo (,] A ) ) <-> ( x e. dom ( F ` n ) /\ ( ( F ` n ) ` x ) e. ( -oo (,] A ) ) ) )
136	135	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. ( `' ( F ` n ) " ( -oo (,] A ) ) ) -> ( x e. ( `' ( F ` n ) " ( -oo (,] A ) ) <-> ( x e. dom ( F ` n ) /\ ( ( F ` n ) ` x ) e. ( -oo (,] A ) ) ) )
137	133, 136	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. ( `' ( F ` n ) " ( -oo (,] A ) ) ) -> ( x e. dom ( F ` n ) /\ ( ( F ` n ) ` x ) e. ( -oo (,] A ) ) )
138	137	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. ( `' ( F ` n ) " ( -oo (,] A ) ) ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. ( -oo (,] A ) )
139	131, 132, 138	iocleubd 39786	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. ( `' ( F ` n ) " ( -oo (,] A ) ) ) -> ( ( F ` n ) ` x ) <_ A )
140	130, 139	syld3an3 1371	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. ( ( H ` n ) i^i D ) ) -> ( ( F ` n ) ` x ) <_ A )
141	117, 118, 120, 140	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) ) /\ n e. Z ) -> ( ( F ` n ) ` x ) <_ A )
142	141	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) ) -> ( n e. Z -> ( ( F ` n ) ` x ) <_ A ) )
143	116, 142	ralrimi 2957	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) ) -> A. n e. Z ( ( F ` n ) ` x ) <_ A )
144	24	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) ) -> Z =/= (/) )
145	101, 32	syldanl 735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) ) /\ n e. Z ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. RR )
146	101, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) ) -> E. y e. RR A. n e. Z ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
147	45	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) ) -> A e. RR )
148	116, 144, 145, 146, 147	suprleubrnmpt 39649	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) ) -> ( sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) <_ A <-> A. n e. Z ( ( F ` n ) ` x ) <_ A ) )
149	143, 148	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) ) -> sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) <_ A )
150	111, 149	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) ) -> ( G ` x ) <_ A )
151	102, 103, 106, 110, 150	eliocd 39730	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) ) -> ( G ` x ) e. ( -oo (,] A ) )
152	93, 101, 151	elpreimad 39454	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) ) -> x e. ( `' G " ( -oo (,] A ) ) )
153	152	ssd 39252	. . . 4 |- ( ph -> |^|_ n e. Z ( ( H ` n ) i^i D ) C_ ( `' G " ( -oo (,] A ) ) )
154	92, 153	eqsstrd 3639	. . 3 |- ( ph -> ( |^|_ n e. Z ( H ` n ) i^i D ) C_ ( `' G " ( -oo (,] A ) ) )
155	90, 154	eqssd 3620	. 2 |- ( ph -> ( `' G " ( -oo (,] A ) ) = ( |^|_ n e. Z ( H ` n ) i^i D ) )
156		eqid 2622	. . . . 5 |- { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( F ` n ) ` x ) <_ y } = { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( F ` n ) ` x ) <_ y }
157		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( F ` n ) e. _V
158	157	dmex 7099	. . . . . . . 8 |- dom ( F ` n ) e. _V
159	158	rgenw 2924	. . . . . . 7 |- A. n e. Z dom ( F ` n ) e. _V
160	159	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. Z dom ( F ` n ) e. _V )
161	24, 160	iinexd 39318	. . . . 5 |- ( ph -> |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) e. _V )
162	156, 161	rabexd 4814	. . . 4 |- ( ph -> { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( F ` n ) ` x ) <_ y } e. _V )
163	9, 162	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> D e. _V )
164	22	uzct 39232	. . . . 5 |- Z ~<_ om
165	164	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> Z ~<_ om )
166		smfsuplem1.h	. . . . 5 |- ( ph -> H : Z --> S )
167	166	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( H ` n ) e. S )
168	1, 165, 24, 167	saliincl 40545	. . 3 |- ( ph -> |^|_ n e. Z ( H ` n ) e. S )
169		eqid 2622	. . 3 |- ( |^|_ n e. Z ( H ` n ) i^i D ) = ( |^|_ n e. Z ( H ` n ) i^i D )
170	1, 163, 168, 169	elrestd 39291	. 2 |- ( ph -> ( |^|_ n e. Z ( H ` n ) i^i D ) e. ( S ↾t D ) )
171	155, 170	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> ( `' G " ( -oo (,] A ) ) e. ( S ↾t D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   supcsup 8346   RRcr 9935   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   (,]cioc 12176   ↾_t crest 16081  SAlgcsalg 40528  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-rest 16083  df-salg 40529  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  smfsuplem2  41018