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Theorem sgrp2nmndlem4 17415
Description: Lemma 4 for sgrp2nmnd 17417: M is a semigroup. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mgm2nsgrp.s |- S = { A , B }
mgm2nsgrp.b |- ( Base ` M ) = S
sgrp2nmnd.o |- ( +g ` M ) = ( x e. S , y e. S |-> if ( x = A , A , B ) )
Assertion
Ref Expression
sgrp2nmndlem4 |- ( ( # ` S ) = 2 -> M e. SGrp )
Distinct variable groups:   x, S, y   x, A, y   x, B, y   x, M
Allowed substitution hint:   M( y)
Proof of Theorem sgrp2nmndlem4
Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mgm2nsgrp.s . . . 4 |- S = { A , B }
21hashprdifel 13186 . . 3 |- ( ( # ` S ) = 2 -> ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) )
3 3simpa 1058 . . 3 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( A e. S /\ B e. S ) )
4 mgm2nsgrp.b . . . 4 |- ( Base ` M ) = S
5 sgrp2nmnd.o . . . 4 |- ( +g ` M ) = ( x e. S , y e. S |-> if ( x = A , A , B ) )
61, 4, 5sgrp2nmndlem1 17410 . . 3 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> M e. Mgm )
72, 3, 63syl 18 . 2 |- ( ( # ` S ) = 2 -> M e. Mgm )
8 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
91, 4, 5, 8sgrp2nmndlem2 17411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. S /\ A e. S ) -> ( A ( +g ` M ) A ) = A )
109oveq1d 6665 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. S /\ A e. S ) -> ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) A ) = ( A ( +g ` M ) A ) )
119oveq2d 6666 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. S /\ A e. S ) -> ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) A ) ) = ( A ( +g ` M ) A ) )
1210, 11eqtr4d 2659 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. S /\ A e. S ) -> ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) A ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) A ) ) )
1312anidms 677 . . . . . . 7 |- ( A e. S -> ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) A ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) A ) ) )
14133ad2ant1 1082 . . . . . 6 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) A ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) A ) ) )
159anidms 677 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. S -> ( A ( +g ` M ) A ) = A )
1615adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> ( A ( +g ` M ) A ) = A )
1716oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) = ( A ( +g ` M ) B ) )
181, 4, 5, 8sgrp2nmndlem2 17411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> ( A ( +g ` M ) B ) = A )
1918oveq2d 6666 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) = ( A ( +g ` M ) A ) )
2016, 19, 183eqtr4rd 2667 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> ( A ( +g ` M ) B ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) )
2117, 20eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) )
22213adant3 1081 . . . . . 6 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) )
2314, 22jca 554 . . . . 5 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) A ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) A ) ) /\ ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) ) )
24183adant3 1081 . . . . . 6 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( A ( +g ` M ) B ) = A )
251, 4, 5, 8sgrp2nmndlem3 17412 . . . . . . 7 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( B ( +g ` M ) A ) = B )
2625oveq2d 6666 . . . . . 6 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) A ) ) = ( A ( +g ` M ) B ) )
2724oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) A ) = ( A ( +g ` M ) A ) )
28153ad2ant1 1082 . . . . . . 7 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( A ( +g ` M ) A ) = A )
2927, 28eqtrd 2656 . . . . . 6 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) A ) = A )
3024, 26, 293eqtr4rd 2667 . . . . 5 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) A ) = ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) A ) ) )
31 simp2 1062 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> B e. S )
321, 4, 5, 8sgrp2nmndlem3 17412 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( B ( +g ` M ) B ) = B )
3331, 32syld3an1 1372 . . . . . . 7 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( B ( +g ` M ) B ) = B )
3433oveq2d 6666 . . . . . 6 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) B ) ) = ( A ( +g ` M ) B ) )
3518oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) B ) = ( A ( +g ` M ) B ) )
3635, 18eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) B ) = A )
37363adant3 1081 . . . . . 6 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) B ) = A )
3824, 34, 373eqtr4rd 2667 . . . . 5 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) B ) = ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) B ) ) )
3923, 30, 38jca32 558 . . . 4 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( ( ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) A ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) A ) ) /\ ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) ) /\ ( ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) A ) = ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) A ) ) /\ ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) B ) = ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) B ) ) ) ) )
4025oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) A ) = ( B ( +g ` M ) A ) )
4128oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) A ) ) = ( B ( +g ` M ) A ) )
4240, 41eqtr4d 2659 . . . . . 6 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) A ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) A ) ) )
4324oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) = ( B ( +g ` M ) A ) )
4425oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) = ( B ( +g ` M ) B ) )
4544, 33eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) = B )
4625, 43, 453eqtr4rd 2667 . . . . . 6 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) )
4742, 46jca 554 . . . . 5 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) A ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) A ) ) /\ ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) ) )
4825oveq2d 6666 . . . . . 6 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) A ) ) = ( B ( +g ` M ) B ) )
4933oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) A ) = ( B ( +g ` M ) A ) )
5049, 25eqtrd 2656 . . . . . 6 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) A ) = B )
5133, 48, 503eqtr4rd 2667 . . . . 5 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) A ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) A ) ) )
5232oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( ( B e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) B ) = ( B ( +g ` M ) B ) )
5332oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( ( B e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) B ) ) = ( B ( +g ` M ) B ) )
5452, 53eqtr4d 2659 . . . . . 6 |- ( ( B e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) B ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) B ) ) )
5531, 54syld3an1 1372 . . . . 5 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) B ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) B ) ) )
5647, 51, 55jca32 558 . . . 4 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( ( ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) A ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) A ) ) /\ ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) ) /\ ( ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) A ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) A ) ) /\ ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) B ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) B ) ) ) ) )
57 oveq1 6657 . . . . . . . . . 10 |- ( a = A -> ( a ( +g ` M ) b ) = ( A ( +g ` M ) b ) )
5857oveq1d 6665 . . . . . . . . 9 |- ( a = A -> ( ( a ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( ( A ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) )
59 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( a = A -> ( a ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) = ( A ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) )
6058, 59eqeq12d 2637 . . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( ( ( a ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( a ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) <-> ( ( A ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) ) )
61602ralbidv 2989 . . . . . . 7 |- ( a = A -> ( A. b e. { A , B } A. c e. { A , B } ( ( a ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( a ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) <-> A. b e. { A , B } A. c e. { A , B } ( ( A ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) ) )
62 oveq1 6657 . . . . . . . . . 10 |- ( a = B -> ( a ( +g ` M ) b ) = ( B ( +g ` M ) b ) )
6362oveq1d 6665 . . . . . . . . 9 |- ( a = B -> ( ( a ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( ( B ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) )
64 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( a = B -> ( a ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) = ( B ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) )
6563, 64eqeq12d 2637 . . . . . . . 8 |- ( a = B -> ( ( ( a ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( a ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) <-> ( ( B ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) ) )
66652ralbidv 2989 . . . . . . 7 |- ( a = B -> ( A. b e. { A , B } A. c e. { A , B } ( ( a ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( a ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) <-> A. b e. { A , B } A. c e. { A , B } ( ( B ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) ) )
6761, 66ralprg 4234 . . . . . 6 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> ( A. a e. { A , B } A. b e. { A , B } A. c e. { A , B } ( ( a ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( a ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) <-> ( A. b e. { A , B } A. c e. { A , B } ( ( A ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) /\ A. b e. { A , B } A. c e. { A , B } ( ( B ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) ) ) )
68 oveq2 6658 . . . . . . . . . . 11 |- ( b = A -> ( A ( +g ` M ) b ) = ( A ( +g ` M ) A ) )
6968oveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 |- ( b = A -> ( ( A ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) c ) )
70 oveq1 6657 . . . . . . . . . . 11 |- ( b = A -> ( b ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) c ) )
7170oveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 |- ( b = A -> ( A ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) c ) ) )
7269, 71eqeq12d 2637 . . . . . . . . 9 |- ( b = A -> ( ( ( A ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) <-> ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) c ) ) ) )
7372ralbidv 2986 . . . . . . . 8 |- ( b = A -> ( A. c e. { A , B } ( ( A ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) <-> A. c e. { A , B } ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) c ) ) ) )
74 oveq2 6658 . . . . . . . . . . 11 |- ( b = B -> ( A ( +g ` M ) b ) = ( A ( +g ` M ) B ) )
7574oveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 |- ( b = B -> ( ( A ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) c ) )
76 oveq1 6657 . . . . . . . . . . 11 |- ( b = B -> ( b ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) c ) )
7776oveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 |- ( b = B -> ( A ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) = ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) c ) ) )
7875, 77eqeq12d 2637 . . . . . . . . 9 |- ( b = B -> ( ( ( A ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) <-> ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) c ) ) ) )
7978ralbidv 2986 . . . . . . . 8 |- ( b = B -> ( A. c e. { A , B } ( ( A ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) <-> A. c e. { A , B } ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) c ) ) ) )
8073, 79ralprg 4234 . . . . . . 7 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> ( A. b e. { A , B } A. c e. { A , B } ( ( A ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) <-> ( A. c e. { A , B } ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) c ) ) /\ A. c e. { A , B } ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) c ) ) ) ) )
81 oveq2 6658 . . . . . . . . . . 11 |- ( b = A -> ( B ( +g ` M ) b ) = ( B ( +g ` M ) A ) )
8281oveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 |- ( b = A -> ( ( B ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) c ) )
8370oveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 |- ( b = A -> ( B ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) c ) ) )
8482, 83eqeq12d 2637 . . . . . . . . 9 |- ( b = A -> ( ( ( B ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) <-> ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) c ) ) ) )
8584ralbidv 2986 . . . . . . . 8 |- ( b = A -> ( A. c e. { A , B } ( ( B ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) <-> A. c e. { A , B } ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) c ) ) ) )
86 oveq2 6658 . . . . . . . . . . 11 |- ( b = B -> ( B ( +g ` M ) b ) = ( B ( +g ` M ) B ) )
8786oveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 |- ( b = B -> ( ( B ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) c ) )
8876oveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 |- ( b = B -> ( B ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) c ) ) )
8987, 88eqeq12d 2637 . . . . . . . . 9 |- ( b = B -> ( ( ( B ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) <-> ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) c ) ) ) )
9089ralbidv 2986 . . . . . . . 8 |- ( b = B -> ( A. c e. { A , B } ( ( B ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) <-> A. c e. { A , B } ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) c ) ) ) )
9185, 90ralprg 4234 . . . . . . 7 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> ( A. b e. { A , B } A. c e. { A , B } ( ( B ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) <-> ( A. c e. { A , B } ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) c ) ) /\ A. c e. { A , B } ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) c ) ) ) ) )
9280, 91anbi12d 747 . . . . . 6 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> ( ( A. b e. { A , B } A. c e. { A , B } ( ( A ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) /\ A. b e. { A , B } A. c e. { A , B } ( ( B ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) ) <-> ( ( A. c e. { A , B } ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) c ) ) /\ A. c e. { A , B } ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) c ) ) ) /\ ( A. c e. { A , B } ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) c ) ) /\ A. c e. { A , B } ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) c ) ) ) ) ) )
93 oveq2 6658 . . . . . . . . . 10 |- ( c = A -> ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) c ) = ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) A ) )
94 oveq2 6658 . . . . . . . . . . 11 |- ( c = A -> ( A ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) A ) )
9594oveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 |- ( c = A -> ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) c ) ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) A ) ) )
9693, 95eqeq12d 2637 . . . . . . . . 9 |- ( c = A -> ( ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) c ) ) <-> ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) A ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) A ) ) ) )
97 oveq2 6658 . . . . . . . . . 10 |- ( c = B -> ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) c ) = ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) )
98 oveq2 6658 . . . . . . . . . . 11 |- ( c = B -> ( A ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) B ) )
9998oveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 |- ( c = B -> ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) c ) ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) )
10097, 99eqeq12d 2637 . . . . . . . . 9 |- ( c = B -> ( ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) c ) ) <-> ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) ) )
10196, 100ralprg 4234 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> ( A. c e. { A , B } ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) c ) ) <-> ( ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) A ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) A ) ) /\ ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) ) ) )
102 oveq2 6658 . . . . . . . . . 10 |- ( c = A -> ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) c ) = ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) A ) )
103 oveq2 6658 . . . . . . . . . . 11 |- ( c = A -> ( B ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) A ) )
104103oveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 |- ( c = A -> ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) c ) ) = ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) A ) ) )
105102, 104eqeq12d 2637 . . . . . . . . 9 |- ( c = A -> ( ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) c ) ) <-> ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) A ) = ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) A ) ) ) )
106 oveq2 6658 . . . . . . . . . 10 |- ( c = B -> ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) c ) = ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) B ) )
107 oveq2 6658 . . . . . . . . . . 11 |- ( c = B -> ( B ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) B ) )
108107oveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 |- ( c = B -> ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) c ) ) = ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) B ) ) )
109106, 108eqeq12d 2637 . . . . . . . . 9 |- ( c = B -> ( ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) c ) ) <-> ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) B ) = ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) B ) ) ) )
110105, 109ralprg 4234 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> ( A. c e. { A , B } ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) c ) ) <-> ( ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) A ) = ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) A ) ) /\ ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) B ) = ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) B ) ) ) ) )
111101, 110anbi12d 747 . . . . . . 7 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> ( ( A. c e. { A , B } ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) c ) ) /\ A. c e. { A , B } ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) c ) ) ) <-> ( ( ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) A ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) A ) ) /\ ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) ) /\ ( ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) A ) = ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) A ) ) /\ ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) B ) = ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) B ) ) ) ) ) )
112 oveq2 6658 . . . . . . . . . 10 |- ( c = A -> ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) c ) = ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) A ) )
11394oveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 |- ( c = A -> ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) c ) ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) A ) ) )
114112, 113eqeq12d 2637 . . . . . . . . 9 |- ( c = A -> ( ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) c ) ) <-> ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) A ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) A ) ) ) )
115 oveq2 6658 . . . . . . . . . 10 |- ( c = B -> ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) c ) = ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) )
11698oveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 |- ( c = B -> ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) c ) ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) )
117115, 116eqeq12d 2637 . . . . . . . . 9 |- ( c = B -> ( ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) c ) ) <-> ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) ) )
118114, 117ralprg 4234 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> ( A. c e. { A , B } ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) c ) ) <-> ( ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) A ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) A ) ) /\ ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) ) ) )
119 oveq2 6658 . . . . . . . . . 10 |- ( c = A -> ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) c ) = ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) A ) )
120103oveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 |- ( c = A -> ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) c ) ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) A ) ) )
121119, 120eqeq12d 2637 . . . . . . . . 9 |- ( c = A -> ( ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) c ) ) <-> ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) A ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) A ) ) ) )
122 oveq2 6658 . . . . . . . . . 10 |- ( c = B -> ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) c ) = ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) B ) )
123107oveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 |- ( c = B -> ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) c ) ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) B ) ) )
124122, 123eqeq12d 2637 . . . . . . . . 9 |- ( c = B -> ( ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) c ) ) <-> ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) B ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) B ) ) ) )
125121, 124ralprg 4234 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> ( A. c e. { A , B } ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) c ) ) <-> ( ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) A ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) A ) ) /\ ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) B ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) B ) ) ) ) )
126118, 125anbi12d 747 . . . . . . 7 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> ( ( A. c e. { A , B } ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) c ) ) /\ A. c e. { A , B } ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) c ) ) ) <-> ( ( ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) A ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) A ) ) /\ ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) ) /\ ( ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) A ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) A ) ) /\ ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) B ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) B ) ) ) ) ) )
127111, 126anbi12d 747 . . . . . 6 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> ( ( ( A. c e. { A , B } ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) c ) ) /\ A. c e. { A , B } ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) c ) = ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) c ) ) ) /\ ( A. c e. { A , B } ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) c ) ) /\ A. c e. { A , B } ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) c ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) c ) ) ) ) <-> ( ( ( ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) A ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) A ) ) /\ ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) ) /\ ( ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) A ) = ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) A ) ) /\ ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) B ) = ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) B ) ) ) ) /\ ( ( ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) A ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) A ) ) /\ ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) ) /\ ( ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) A ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) A ) ) /\ ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) B ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) B ) ) ) ) ) ) )
12867, 92, 1273bitrd 294 . . . . 5 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> ( A. a e. { A , B } A. b e. { A , B } A. c e. { A , B } ( ( a ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( a ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) <-> ( ( ( ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) A ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) A ) ) /\ ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) ) /\ ( ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) A ) = ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) A ) ) /\ ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) B ) = ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) B ) ) ) ) /\ ( ( ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) A ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) A ) ) /\ ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) ) /\ ( ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) A ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) A ) ) /\ ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) B ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) B ) ) ) ) ) ) )
1291283adant3 1081 . . . 4 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( A. a e. { A , B } A. b e. { A , B } A. c e. { A , B } ( ( a ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( a ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) <-> ( ( ( ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) A ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) A ) ) /\ ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) = ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) ) /\ ( ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) A ) = ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) A ) ) /\ ( ( A ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) B ) = ( A ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) B ) ) ) ) /\ ( ( ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) A ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) A ) ) /\ ( ( B ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) = ( B ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) ) /\ ( ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) A ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) A ) ) /\ ( ( B ( +g ` M ) B ) ( +g ` M ) B ) = ( B ( +g ` M ) ( B ( +g ` M ) B ) ) ) ) ) ) )
13039, 56, 129mpbir2and 957 . . 3 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> A. a e. { A , B } A. b e. { A , B } A. c e. { A , B } ( ( a ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( a ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) )
1312, 130syl 17 . 2 |- ( ( # ` S ) = 2 -> A. a e. { A , B } A. b e. { A , B } A. c e. { A , B } ( ( a ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( a ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) )
1324, 1eqtr2i 2645 . . 3 |- { A , B } = ( Base ` M )
133132, 8issgrp 17285 . 2 |- ( M e. SGrp <-> ( M e. Mgm /\ A. a e. { A , B } A. b e. { A , B } A. c e. { A , B } ( ( a ( +g ` M ) b ) ( +g ` M ) c ) = ( a ( +g ` M ) ( b ( +g ` M ) c ) ) ) )
1347, 131, 133sylanbrc 698 1 |- ( ( # ` S ) = 2 -> M e. SGrp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   ifcif 4086   {cpr 4179   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   2c2 11070   #chash 13117   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Mgmcmgm 17240  SGrpcsgrp 17283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-mgm 17242  df-sgrp 17284
This theorem is referenced by:  sgrp2nmnd  17417  sgrpnmndex  17419
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