Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smatfval Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem smatfval 29861
Description: Value of the submatrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
smatfval |- ( ( K e. NN /\ L e. NN /\ M e. V ) -> ( K (subMat1 ` M ) L ) = ( M o. ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) ) )
Distinct variable groups:   i, K, j   i, L, j
Allowed substitution hints:   M( i, j)   V( i, j)
Proof of Theorem smatfval
Dummy variables k l m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3212 . . . 4 |- ( M e. V -> M e. _V )
213ad2ant3 1084 . . 3 |- ( ( K e. NN /\ L e. NN /\ M e. V ) -> M e. _V )
3 coeq1 5279 . . . . 5 |- ( m = M -> ( m o. ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < k , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < l , j , ( j + 1 ) ) >. ) ) = ( M o. ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < k , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < l , j , ( j + 1 ) ) >. ) ) )
43mpt2eq3dv 6721 . . . 4 |- ( m = M -> ( k e. NN , l e. NN |-> ( m o. ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < k , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < l , j , ( j + 1 ) ) >. ) ) ) = ( k e. NN , l e. NN |-> ( M o. ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < k , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < l , j , ( j + 1 ) ) >. ) ) ) )
5 df-smat 29860 . . . 4 |- subMat1 = ( m e. _V |-> ( k e. NN , l e. NN |-> ( m o. ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < k , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < l , j , ( j + 1 ) ) >. ) ) ) )
6 nnex 11026 . . . . 5 |- NN e. _V
76, 6mpt2ex 7247 . . . 4 |- ( k e. NN , l e. NN |-> ( M o. ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < k , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < l , j , ( j + 1 ) ) >. ) ) ) e. _V
84, 5, 7fvmpt 6282 . . 3 |- ( M e. _V -> (subMat1 ` M ) = ( k e. NN , l e. NN |-> ( M o. ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < k , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < l , j , ( j + 1 ) ) >. ) ) ) )
92, 8syl 17 . 2 |- ( ( K e. NN /\ L e. NN /\ M e. V ) -> (subMat1 ` M ) = ( k e. NN , l e. NN |-> ( M o. ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < k , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < l , j , ( j + 1 ) ) >. ) ) ) )
10 breq2 4657 . . . . . . . 8 |- ( k = K -> ( i < k <-> i < K ) )
1110ifbid 4108 . . . . . . 7 |- ( k = K -> if ( i < k , i , ( i + 1 ) ) = if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) )
1211opeq1d 4408 . . . . . 6 |- ( k = K -> <. if ( i < k , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < l , j , ( j + 1 ) ) >. = <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < l , j , ( j + 1 ) ) >. )
1312mpt2eq3dv 6721 . . . . 5 |- ( k = K -> ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < k , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < l , j , ( j + 1 ) ) >. ) = ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < l , j , ( j + 1 ) ) >. ) )
14 breq2 4657 . . . . . . . 8 |- ( l = L -> ( j < l <-> j < L ) )
1514ifbid 4108 . . . . . . 7 |- ( l = L -> if ( j < l , j , ( j + 1 ) ) = if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) )
1615opeq2d 4409 . . . . . 6 |- ( l = L -> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < l , j , ( j + 1 ) ) >. = <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. )
1716mpt2eq3dv 6721 . . . . 5 |- ( l = L -> ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < l , j , ( j + 1 ) ) >. ) = ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) )
1813, 17sylan9eq 2676 . . . 4 |- ( ( k = K /\ l = L ) -> ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < k , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < l , j , ( j + 1 ) ) >. ) = ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) )
1918adantl 482 . . 3 |- ( ( ( K e. NN /\ L e. NN /\ M e. V ) /\ ( k = K /\ l = L ) ) -> ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < k , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < l , j , ( j + 1 ) ) >. ) = ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) )
2019coeq2d 5284 . 2 |- ( ( ( K e. NN /\ L e. NN /\ M e. V ) /\ ( k = K /\ l = L ) ) -> ( M o. ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < k , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < l , j , ( j + 1 ) ) >. ) ) = ( M o. ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) ) )
21 simp1 1061 . 2 |- ( ( K e. NN /\ L e. NN /\ M e. V ) -> K e. NN )
22 simp2 1062 . 2 |- ( ( K e. NN /\ L e. NN /\ M e. V ) -> L e. NN )
23 simp3 1063 . . 3 |- ( ( K e. NN /\ L e. NN /\ M e. V ) -> M e. V )
246, 6mpt2ex 7247 . . . 4 |- ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) e. _V
2524a1i 11 . . 3 |- ( ( K e. NN /\ L e. NN /\ M e. V ) -> ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) e. _V )
26 coexg 7117 . . 3 |- ( ( M e. V /\ ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) e. _V ) -> ( M o. ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) ) e. _V )
2723, 25, 26syl2anc 693 . 2 |- ( ( K e. NN /\ L e. NN /\ M e. V ) -> ( M o. ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) ) e. _V )
289, 20, 21, 22, 27ovmpt2d 6788 1 |- ( ( K e. NN /\ L e. NN /\ M e. V ) -> ( K (subMat1 ` M ) L ) = ( M o. ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   ifcif 4086   <.cop 4183   class class class wbr 4653   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   NNcn 11020  subMat1csmat 29859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-nn 11021  df-smat 29860
This theorem is referenced by:  smatrcl  29862  smatlem  29863
  Copyright terms: Public domain W3C validator