Theorem smatlem 29863

Description: Lemma for the next theorems. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
smat.s	|- S = ( K (subMat1 ` A ) L )
smat.m	|- ( ph -> M e. NN )
smat.n	|- ( ph -> N e. NN )
smat.k	|- ( ph -> K e. ( 1 ... M ) )
smat.l	|- ( ph -> L e. ( 1 ... N ) )
smat.a	|- ( ph -> A e. ( B ^m ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
smatlem.i	|- ( ph -> I e. NN )
smatlem.j	|- ( ph -> J e. NN )
smatlem.1	|- ( ph -> if ( I < K , I , ( I + 1 ) ) = X )
smatlem.2	|- ( ph -> if ( J < L , J , ( J + 1 ) ) = Y )

Assertion

Ref	Expression
smatlem	|- ( ph -> ( I S J ) = ( X A Y ) )

Proof of Theorem smatlem

Dummy variables i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smat.s	. . . . . 6 |- S = ( K (subMat1 ` A ) L )
2		fz1ssnn 12372	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... M ) C_ NN
3		smat.k	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ( 1 ... M ) )
4	2, 3	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. NN )
5		fz1ssnn 12372	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... N ) C_ NN
6		smat.l	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. ( 1 ... N ) )
7	5, 6	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. NN )
8		smat.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ( B ^m ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
9		smatfval 29861	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN /\ L e. NN /\ A e. ( B ^m ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) ) ) -> ( K (subMat1 ` A ) L ) = ( A o. ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) ) )
10	4, 7, 8, 9	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K (subMat1 ` A ) L ) = ( A o. ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) ) )
11	1, 10	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ph -> S = ( A o. ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) ) )
12	11	oveqd 6667	. . . 4 |- ( ph -> ( I S J ) = ( I ( A o. ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) ) J ) )
13		df-ov 6653	. . . 4 |- ( I ( A o. ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) ) J ) = ( ( A o. ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) ) ` <. I , J >. )
14	12, 13	syl6eq 2672	. . 3 |- ( ph -> ( I S J ) = ( ( A o. ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) ) ` <. I , J >. ) )
15		smatlem.i	. . . . . . 7 |- ( ph -> I e. NN )
16		smatlem.j	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. NN )
17	15, 16	jca 554	. . . . . 6 |- ( ph -> ( I e. NN /\ J e. NN ) )
18		opelxp 5146	. . . . . 6 |- ( <. I , J >. e. ( NN X. NN ) <-> ( I e. NN /\ J e. NN ) )
19	17, 18	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ph -> <. I , J >. e. ( NN X. NN ) )
20		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) = ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. )
21		opex 4932	. . . . . 6 |- <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. e. _V
22	20, 21	dmmpt2 7240	. . . . 5 |- dom ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) = ( NN X. NN )
23	19, 22	syl6eleqr 2712	. . . 4 |- ( ph -> <. I , J >. e. dom ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) )
24	20	mpt2fun 6762	. . . . 5 |- Fun ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. )
25		fvco 6274	. . . . 5 |- ( ( Fun ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) /\ <. I , J >. e. dom ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) ) -> ( ( A o. ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) ) ` <. I , J >. ) = ( A ` ( ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) ` <. I , J >. ) ) )
26	24, 25	mpan 706	. . . 4 |- ( <. I , J >. e. dom ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) -> ( ( A o. ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) ) ` <. I , J >. ) = ( A ` ( ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) ` <. I , J >. ) ) )
27	23, 26	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( ( A o. ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) ) ` <. I , J >. ) = ( A ` ( ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) ` <. I , J >. ) ) )
28	14, 27	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> ( I S J ) = ( A ` ( ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) ` <. I , J >. ) ) )
29		df-ov 6653	. . . . 5 |- ( I ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) J ) = ( ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) ` <. I , J >. )
30		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( i = I -> ( i < K <-> I < K ) )
31		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( i = I -> i = I )
32		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( i = I -> ( i + 1 ) = ( I + 1 ) )
33	30, 31, 32	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . 9 |- ( i = I -> if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) = if ( I < K , I , ( I + 1 ) ) )
34	33	opeq1d 4408	. . . . . . . 8 |- ( i = I -> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. = <. if ( I < K , I , ( I + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. )
35		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( j = J -> ( j < L <-> J < L ) )
36		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( j = J -> j = J )
37		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( j = J -> ( j + 1 ) = ( J + 1 ) )
38	35, 36, 37	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . 9 |- ( j = J -> if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) = if ( J < L , J , ( J + 1 ) ) )
39	38	opeq2d 4409	. . . . . . . 8 |- ( j = J -> <. if ( I < K , I , ( I + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. = <. if ( I < K , I , ( I + 1 ) ) , if ( J < L , J , ( J + 1 ) ) >. )
40		opex 4932	. . . . . . . 8 |- <. if ( I < K , I , ( I + 1 ) ) , if ( J < L , J , ( J + 1 ) ) >. e. _V
41	34, 39, 20, 40	ovmpt2 6796	. . . . . . 7 |- ( ( I e. NN /\ J e. NN ) -> ( I ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) J ) = <. if ( I < K , I , ( I + 1 ) ) , if ( J < L , J , ( J + 1 ) ) >. )
42	17, 41	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( I ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) J ) = <. if ( I < K , I , ( I + 1 ) ) , if ( J < L , J , ( J + 1 ) ) >. )
43		smatlem.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( I < K , I , ( I + 1 ) ) = X )
44		smatlem.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( J < L , J , ( J + 1 ) ) = Y )
45	43, 44	opeq12d 4410	. . . . . 6 |- ( ph -> <. if ( I < K , I , ( I + 1 ) ) , if ( J < L , J , ( J + 1 ) ) >. = <. X , Y >. )
46	42, 45	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( I ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) J ) = <. X , Y >. )
47	29, 46	syl5eqr 2670	. . . 4 |- ( ph -> ( ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) ` <. I , J >. ) = <. X , Y >. )
48	47	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ph -> ( A ` ( ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) ` <. I , J >. ) ) = ( A ` <. X , Y >. ) )
49		df-ov 6653	. . 3 |- ( X A Y ) = ( A ` <. X , Y >. )
50	48, 49	syl6eqr 2674	. 2 |- ( ph -> ( A ` ( ( i e. NN , j e. NN |-> <. if ( i < K , i , ( i + 1 ) ) , if ( j < L , j , ( j + 1 ) ) >. ) ` <. I , J >. ) ) = ( X A Y ) )
51	28, 50	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> ( I S J ) = ( X A Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ifcif 4086   <.cop 4183   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   dom cdm 5114   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   NNcn 11020   ...cfz 12326  subMat1csmat 29859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-smat 29860

This theorem is referenced by:  smattl  29864  smattr  29865  smatbl  29866  smatbr  29867  1smat1  29870  madjusmdetlem3  29895