smatrcl - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem smatrcl 29862

Description: Closure of the rectangular submatrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
smat.s	subMat1
smat.m
smat.n
smat.k
smat.l
smat.a

**Assertion**
Ref	Expression
smatrcl

Proof of Theorem smatrcl Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smat.a	. . . . . . . 8
2		elmapi 7879	. . . . . . . 8
3		ffun 6048	. . . . . . . 8
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . . . 7
5		eqid 2622	. . . . . . . . 9
6	5	mpt2fun 6762	. . . . . . . 8
7	6	a1i 11	. . . . . . 7
8		funco 5928	. . . . . . 7 $/\$
9	4, 7, 8	syl2anc 693	. . . . . 6
10		smat.s	. . . . . . . 8 subMat1
11		fz1ssnn 12372	. . . . . . . . . 10
12		smat.k	. . . . . . . . . 10
13	11, 12	sseldi 3601	. . . . . . . . 9
14		fz1ssnn 12372	. . . . . . . . . 10
15		smat.l	. . . . . . . . . 10
16	14, 15	sseldi 3601	. . . . . . . . 9
17		smatfval 29861	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ subMat1
18	13, 16, 1, 17	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 subMat1
19	10, 18	syl5eq 2668	. . . . . . 7
20	19	funeqd 5910	. . . . . 6
21	9, 20	mpbird 247	. . . . 5
22		fdmrn 6064	. . . . 5
23	21, 22	sylib 208	. . . 4
24	19	dmeqd 5326	. . . . . 6
25		dmco 5643	. . . . . . 7
26		fdm 6051	. . . . . . . . . . . 12
27	1, 2, 26	3syl 18	. . . . . . . . . . 11
28	27	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . 10
29	28	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9
30		opex 4932	. . . . . . . . . . . 12
31	5, 30	fnmpt2i 7239	. . . . . . . . . . 11
32		elpreima 6337	. . . . . . . . . . 11 $/\$
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 $/\$
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
35		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
36	35	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
37		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
38	36, 37	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
39		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
40		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
41		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
42	39, 40, 41	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
43	42	opeq1d 4408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
44		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
45		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
46		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
47	44, 45, 46	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
48	47	opeq2d 4409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
49		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50	43, 48, 5, 49	ovmpt2 6796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
52	38, 51	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
53	52	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
54		opelxp 5146	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
55	53, 54	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56		ifel 4129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\/$ $/\$
57		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	13	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
60	59	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		smat.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
62	61	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
63	62	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	58, 60, 64	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
67	12, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
68	67	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	58, 60, 63, 65, 68	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	57, 69	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	61	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
72		fznn 12408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
74	73	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	70, 74	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	58, 60, 63, 64, 68	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	61	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78		nnltlem1 11444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
79	57, 77, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	76, 79	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81	75, 80	2thd 255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	81	pm5.32da 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83		fznn 12408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
84	71, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
85	84	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
87	86	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
88	87	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	86	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
90	71	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
91		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
92		zltlem1 11430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
93	91, 92	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
94	89, 90, 93	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
95	85, 88, 94	3bitr2d 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
96	95	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	82, 96	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
98		pm4.42 1004	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $\/$ $/\$
99		ancom 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
100		ancom 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
101	99, 100	orbi12i 543	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
102	98, 101	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $\/$ $/\$
103	97, 102	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
104	56, 103	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
105		ifel 4129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\/$ $/\$
106		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	106	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	16	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
109	108	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110		smat.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
111	110	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
112	111	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	107, 109, 113	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
116	15, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
117	116	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	107, 109, 112, 114, 117	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	106, 118	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	110	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
121		fznn 12408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
122	120, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
123	122	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	119, 123	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125	107, 109, 112, 113, 117	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	110	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127		nnltlem1 11444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
128	106, 126, 127	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	125, 128	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	124, 129	2thd 255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	130	pm5.32da 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132		fznn 12408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
133	120, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
134	133	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
136	135	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
137	136	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	135	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
139	120	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
140		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
141		zltlem1 11430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
142	140, 141	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
143	138, 139, 142	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
144	134, 137, 143	3bitr2d 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
145	144	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	131, 145	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
147		pm4.42 1004	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $\/$ $/\$
148		ancom 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
149		ancom 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
150	148, 149	orbi12i 543	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
151	147, 150	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $\/$ $/\$
152	146, 151	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
153	105, 152	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
154	104, 153	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
155	55, 154	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
156	155	pm5.32da 673	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
157		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
158	71, 157	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . . 16
159		fznn 12408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
160	158, 159	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
161	120, 157	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . . 16
162		fznn 12408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
163	161, 162	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
164	160, 163	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
165		an4 865	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
166	164, 165	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
167	166	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	156, 167	bitr4d 271	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
169	168	pm5.32da 673	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
170		elxp6 7200	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
171	170	anbi1i 731	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
172		anass 681	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
173	171, 172	bitri 264	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
174		elxp6 7200	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
175	169, 173, 174	3bitr4g 303	. . . . . . . . 9 $/\$
176	29, 34, 175	3bitrd 294	. . . . . . . 8
177	176	eqrdv 2620	. . . . . . 7
178	25, 177	syl5eq 2668	. . . . . 6
179	24, 178	eqtrd 2656	. . . . 5
180	179	feq2d 6031	. . . 4
181	23, 180	mpbid 222	. . 3
182	19	rneqd 5353	. . . . 5
183		rncoss 5386	. . . . 5
184	182, 183	syl6eqss 3655	. . . 4
185		frn 6053	. . . . 5
186	1, 2, 185	3syl 18	. . . 4
187	184, 186	sstrd 3613	. . 3
188		fss 6056	. . 3 $/\$
189	181, 187, 188	syl2anc 693	. 2
190		reldmmap 7866	. . . . . 6
191	190	ovrcl 6686	. . . . 5 $/\$
192	1, 191	syl 17	. . . 4 $/\$
193	192	simpld 475	. . 3
194		ovex 6678	. . . 4
195		ovex 6678	. . . 4
196	194, 195	xpex 6962	. . 3
197		elmapg 7870	. . 3 $/\$
198	193, 196, 197	sylancl 694	. 2
199	189, 198	mpbird 247	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

cvv 3200

wss 3574

cif 4086

cop 4183 class class class wbr 4653

cxp 5112

ccnv 5113

cdm 5114

crn 5115

cima 5117

ccom 5118

wfun 5882

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cmpt2 6652

c1st 7166

c2nd 7167

cmap 7857

cr 9935

c1 9937

caddc 9939

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

cz 11377

cfz 12326 subMat1csmat 29859

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-smat 29860

This theorem is referenced by: smatcl 29868 1smat1 29870

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