Theorem smuval 15203

Description: Define the addition of two bit sequences, using df-had 1533 and df-cad 1546 bit operations. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
smuval.a	|- ( ph -> A C_ NN0 )
smuval.b	|- ( ph -> B C_ NN0 )
smuval.p	|- P = seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )
smuval.n	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
smuval	|- ( ph -> ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` ( N + 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   m, n, p, A   n, N   ph, n   B, m, n, p

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   P( m, n, p)   N( m, p)

Proof of Theorem smuval

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smuval.a	. . . 4 |- ( ph -> A C_ NN0 )
2		smuval.b	. . . 4 |- ( ph -> B C_ NN0 )
3		smuval.p	. . . 4 |- P = seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )
4	1, 2, 3	smufval 15199	. . 3 |- ( ph -> ( A smul B ) = { k e. NN0 | k e. ( P ` ( k + 1 ) ) } )
5	4	eleq2d 2687	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( A smul B ) <-> N e. { k e. NN0 | k e. ( P ` ( k + 1 ) ) } ) )
6		smuval.n	. . 3 |- ( ph -> N e. NN0 )
7		id 22	. . . . 5 |- ( k = N -> k = N )
8		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( k = N -> ( k + 1 ) = ( N + 1 ) )
9	8	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( k = N -> ( P ` ( k + 1 ) ) = ( P ` ( N + 1 ) ) )
10	7, 9	eleq12d 2695	. . . 4 |- ( k = N -> ( k e. ( P ` ( k + 1 ) ) <-> N e. ( P ` ( N + 1 ) ) ) )
11	10	elrab3 3364	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( N e. { k e. NN0 | k e. ( P ` ( k + 1 ) ) } <-> N e. ( P ` ( N + 1 ) ) ) )
12	6, 11	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( N e. { k e. NN0 | k e. ( P ` ( k + 1 ) ) } <-> N e. ( P ` ( N + 1 ) ) ) )
13	5, 12	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` ( N + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   NN0cn0 11292   seqcseq 12801   sadd csad 15142   smul csmu 15143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-nn 11021  df-n0 11293  df-seq 12802  df-smu 15198

This theorem is referenced by:  smuval2  15204  smupvallem  15205  smu01lem  15207