Theorem smupp1 15202

Description: The initial element of the partial sum sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
smuval.a	|- ( ph -> A C_ NN0 )
smuval.b	|- ( ph -> B C_ NN0 )
smuval.p	|- P = seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )
smuval.n	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
smupp1	|- ( ph -> ( P ` ( N + 1 ) ) = ( ( P ` N ) sadd { n e. NN0 | ( N e. A /\ ( n - N ) e. B ) } ) )

Distinct variable groups:   m, n, p, A   n, N   ph, n   B, m, n, p

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   P( m, n, p)   N( m, p)

Proof of Theorem smupp1

Dummy variables k x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smuval.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
2		nn0uz 11722	. . . . 5 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
3	1, 2	syl6eleq 2711	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
4		seqp1 12816	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` N ) ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) ( ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ` ( N + 1 ) ) ) )
5	3, 4	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` N ) ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) ( ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ` ( N + 1 ) ) ) )
6		smuval.p	. . . 4 |- P = seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )
7	6	fveq1i 6192	. . 3 |- ( P ` ( N + 1 ) ) = ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` ( N + 1 ) )
8	6	fveq1i 6192	. . . 4 |- ( P ` N ) = ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` N )
9	8	oveq1i 6660	. . 3 |- ( ( P ` N ) ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) ( ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ) ` N ) ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) ( ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ` ( N + 1 ) ) )
10	5, 7, 9	3eqtr4g 2681	. 2 |- ( ph -> ( P ` ( N + 1 ) ) = ( ( P ` N ) ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) ( ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ` ( N + 1 ) ) ) )
11		1nn0 11308	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
12	11	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. NN0 )
13	1, 12	nn0addcld 11355	. . . . 5 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 )
14		eqeq1 2626	. . . . . . 7 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( n = 0 <-> ( N + 1 ) = 0 ) )
15		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( n - 1 ) = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
16	14, 15	ifbieq2d 4111	. . . . . 6 |- ( n = ( N + 1 ) -> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) = if ( ( N + 1 ) = 0 , (/) , ( ( N + 1 ) - 1 ) ) )
17		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) = ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) )
18		0ex 4790	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
19		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( ( N + 1 ) - 1 ) e. _V
20	18, 19	ifex 4156	. . . . . 6 |- if ( ( N + 1 ) = 0 , (/) , ( ( N + 1 ) - 1 ) ) e. _V
21	16, 17, 20	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ` ( N + 1 ) ) = if ( ( N + 1 ) = 0 , (/) , ( ( N + 1 ) - 1 ) ) )
22	13, 21	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ` ( N + 1 ) ) = if ( ( N + 1 ) = 0 , (/) , ( ( N + 1 ) - 1 ) ) )
23		nn0p1nn 11332	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
24	1, 23	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN )
25	24	nnne0d 11065	. . . . 5 |- ( ph -> ( N + 1 ) =/= 0 )
26		ifnefalse 4098	. . . . 5 |- ( ( N + 1 ) =/= 0 -> if ( ( N + 1 ) = 0 , (/) , ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
27	25, 26	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> if ( ( N + 1 ) = 0 , (/) , ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
28	1	nn0cnd 11353	. . . . 5 |- ( ph -> N e. CC )
29	12	nn0cnd 11353	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. CC )
30	28, 29	pncand 10393	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
31	22, 27, 30	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ph -> ( ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ` ( N + 1 ) ) = N )
32	31	oveq2d 6666	. 2 |- ( ph -> ( ( P ` N ) ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) ( ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( P ` N ) ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) N ) )
33		smuval.a	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ NN0 )
34		smuval.b	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ NN0 )
35	33, 34, 6	smupf 15200	. . . 4 |- ( ph -> P : NN0 --> ~P NN0 )
36	35, 1	ffvelrnd 6360	. . 3 |- ( ph -> ( P ` N ) e. ~P NN0 )
37		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( x = ( P ` N ) /\ y = N ) -> x = ( P ` N ) )
38		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( P ` N ) /\ y = N ) -> y = N )
39	38	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( P ` N ) /\ y = N ) -> ( y e. A <-> N e. A ) )
40	38	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( P ` N ) /\ y = N ) -> ( k - y ) = ( k - N ) )
41	40	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( P ` N ) /\ y = N ) -> ( ( k - y ) e. B <-> ( k - N ) e. B ) )
42	39, 41	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( ( x = ( P ` N ) /\ y = N ) -> ( ( y e. A /\ ( k - y ) e. B ) <-> ( N e. A /\ ( k - N ) e. B ) ) )
43	42	rabbidv 3189	. . . . . 6 |- ( ( x = ( P ` N ) /\ y = N ) -> { k e. NN0 | ( y e. A /\ ( k - y ) e. B ) } = { k e. NN0 | ( N e. A /\ ( k - N ) e. B ) } )
44		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( k - N ) = ( n - N ) )
45	44	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( k - N ) e. B <-> ( n - N ) e. B ) )
46	45	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( k = n -> ( ( N e. A /\ ( k - N ) e. B ) <-> ( N e. A /\ ( n - N ) e. B ) ) )
47	46	cbvrabv 3199	. . . . . 6 |- { k e. NN0 | ( N e. A /\ ( k - N ) e. B ) } = { n e. NN0 | ( N e. A /\ ( n - N ) e. B ) }
48	43, 47	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ( x = ( P ` N ) /\ y = N ) -> { k e. NN0 | ( y e. A /\ ( k - y ) e. B ) } = { n e. NN0 | ( N e. A /\ ( n - N ) e. B ) } )
49	37, 48	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( x = ( P ` N ) /\ y = N ) -> ( x sadd { k e. NN0 | ( y e. A /\ ( k - y ) e. B ) } ) = ( ( P ` N ) sadd { n e. NN0 | ( N e. A /\ ( n - N ) e. B ) } ) )
50		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( p = x -> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) = ( x sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) )
51		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( m = y -> ( m e. A <-> y e. A ) )
52		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( m = y -> ( n - m ) = ( n - y ) )
53	52	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( m = y -> ( ( n - m ) e. B <-> ( n - y ) e. B ) )
54	51, 53	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( m = y -> ( ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) <-> ( y e. A /\ ( n - y ) e. B ) ) )
55	54	rabbidv 3189	. . . . . . 7 |- ( m = y -> { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } = { n e. NN0 | ( y e. A /\ ( n - y ) e. B ) } )
56		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( k - y ) = ( n - y ) )
57	56	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( ( k - y ) e. B <-> ( n - y ) e. B ) )
58	57	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( y e. A /\ ( k - y ) e. B ) <-> ( y e. A /\ ( n - y ) e. B ) ) )
59	58	cbvrabv 3199	. . . . . . 7 |- { k e. NN0 | ( y e. A /\ ( k - y ) e. B ) } = { n e. NN0 | ( y e. A /\ ( n - y ) e. B ) }
60	55, 59	syl6eqr 2674	. . . . . 6 |- ( m = y -> { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } = { k e. NN0 | ( y e. A /\ ( k - y ) e. B ) } )
61	60	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( m = y -> ( x sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) = ( x sadd { k e. NN0 | ( y e. A /\ ( k - y ) e. B ) } ) )
62	50, 61	cbvmpt2v 6735	. . . 4 |- ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) = ( x e. ~P NN0 , y e. NN0 |-> ( x sadd { k e. NN0 | ( y e. A /\ ( k - y ) e. B ) } ) )
63		ovex 6678	. . . 4 |- ( ( P ` N ) sadd { n e. NN0 | ( N e. A /\ ( n - N ) e. B ) } ) e. _V
64	49, 62, 63	ovmpt2a 6791	. . 3 |- ( ( ( P ` N ) e. ~P NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( P ` N ) ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) N ) = ( ( P ` N ) sadd { n e. NN0 | ( N e. A /\ ( n - N ) e. B ) } ) )
65	36, 1, 64	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( P ` N ) ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) N ) = ( ( P ` N ) sadd { n e. NN0 | ( N e. A /\ ( n - N ) e. B ) } ) )
66	10, 32, 65	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> ( P ` ( N + 1 ) ) = ( ( P ` N ) sadd { n e. NN0 | ( N e. A /\ ( n - N ) e. B ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   seqcseq 12801   sadd csad 15142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-had 1533  df-cad 1546  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-sad 15173

This theorem is referenced by:  smuval2  15204  smupvallem  15205  smu01lem  15207  smupval  15210  smup1  15211  smueqlem  15212