Theorem smupvallem 15205

Description: If A only has elements less than N, then all elements of the partial sum sequence past N already equal the final value. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
smuval.a	|- ( ph -> A C_ NN0 )
smuval.b	|- ( ph -> B C_ NN0 )
smuval.p	|- P = seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )
smuval.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
smupvallem.a	|- ( ph -> A C_ ( 0..^ N ) )
smupvallem.m	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` N ) )

Assertion

Ref	Expression
smupvallem	|- ( ph -> ( P ` M ) = ( A smul B ) )

Distinct variable groups:   m, n, p, A   n, N   ph, n   B, m, n, p

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   P( m, n, p)   M( m, n, p)   N( m, p)

Proof of Theorem smupvallem

Dummy variables k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smuval.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ NN0 )
2		smuval.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B C_ NN0 )
3		smuval.p	. . . . . . 7 |- P = seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )
4	1, 2, 3	smupf 15200	. . . . . 6 |- ( ph -> P : NN0 --> ~P NN0 )
5		smuval.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
6		smupvallem.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` N ) )
7		eluznn0 11757	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. NN0 )
8	5, 6, 7	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN0 )
9	4, 8	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ph -> ( P ` M ) e. ~P NN0 )
10	9	elpwid 4170	. . . 4 |- ( ph -> ( P ` M ) C_ NN0 )
11	10	sseld 3602	. . 3 |- ( ph -> ( k e. ( P ` M ) -> k e. NN0 ) )
12	1, 2, 3	smufval 15199	. . . . 5 |- ( ph -> ( A smul B ) = { k e. NN0 | k e. ( P ` ( k + 1 ) ) } )
13		ssrab2 3687	. . . . 5 |- { k e. NN0 | k e. ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ NN0
14	12, 13	syl6eqss 3655	. . . 4 |- ( ph -> ( A smul B ) C_ NN0 )
15	14	sseld 3602	. . 3 |- ( ph -> ( k e. ( A smul B ) -> k e. NN0 ) )
16	1	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) ) -> A C_ NN0 )
17	2	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) ) -> B C_ NN0 )
18		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
19	6	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> M e. ( ZZ>= ` N ) )
20		uztrn 11704	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` N ) /\ N e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) ) -> M e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) )
21	19, 20	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) ) -> M e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) )
22	16, 17, 3, 18, 21	smuval2 15204	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) ) -> ( k e. ( A smul B ) <-> k e. ( P ` M ) ) )
23	22	bicomd 213	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) ) -> ( k e. ( P ` M ) <-> k e. ( A smul B ) ) )
24	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ( ZZ>= ` N ) )
25		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ph )
26		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = N -> ( P ` x ) = ( P ` N ) )
27	26	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = N -> ( ( P ` x ) = ( P ` N ) <-> ( P ` N ) = ( P ` N ) ) )
28	27	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( ( ph -> ( P ` x ) = ( P ` N ) ) <-> ( ph -> ( P ` N ) = ( P ` N ) ) ) )
29		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = k -> ( P ` x ) = ( P ` k ) )
30	29	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> ( ( P ` x ) = ( P ` N ) <-> ( P ` k ) = ( P ` N ) ) )
31	30	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( ( ph -> ( P ` x ) = ( P ` N ) ) <-> ( ph -> ( P ` k ) = ( P ` N ) ) ) )
32		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( P ` x ) = ( P ` ( k + 1 ) ) )
33	32	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( P ` x ) = ( P ` N ) <-> ( P ` ( k + 1 ) ) = ( P ` N ) ) )
34	33	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( P ` x ) = ( P ` N ) ) <-> ( ph -> ( P ` ( k + 1 ) ) = ( P ` N ) ) ) )
35		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = M -> ( P ` x ) = ( P ` M ) )
36	35	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = M -> ( ( P ` x ) = ( P ` N ) <-> ( P ` M ) = ( P ` N ) ) )
37	36	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( ( ph -> ( P ` x ) = ( P ` N ) ) <-> ( ph -> ( P ` M ) = ( P ` N ) ) ) )
38		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( P ` N ) = ( P ` N ) )
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( ph -> ( P ` N ) = ( P ` N ) ) )
40	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> A C_ NN0 )
41	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> B C_ NN0 )
42		eluznn0 11757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> k e. NN0 )
43	5, 42	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> k e. NN0 )
44	40, 41, 3, 43	smupp1 15202	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) = ( ( P ` k ) sadd { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } ) )
45		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ k )
46	45	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N <_ k )
47	5	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> N e. RR )
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. RR )
49	43	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> k e. RR )
50	48, 49	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( N <_ k <-> -. k < N ) )
51	46, 50	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> -. k < N )
52		smupvallem.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> A C_ ( 0..^ N ) )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> A C_ ( 0..^ N ) )
54	53	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( k e. A -> k e. ( 0..^ N ) ) )
55		elfzolt2 12479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ( 0..^ N ) -> k < N )
56	54, 55	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( k e. A -> k < N ) )
57	56	adantrd 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) -> k < N ) )
58	51, 57	mtod 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> -. ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) )
59	58	ralrimivw 2967	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> A. n e. NN0 -. ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) )
60		rabeq0 3957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } = (/) <-> A. n e. NN0 -. ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) )
61	59, 60	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } = (/) )
62	61	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( P ` k ) sadd { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } ) = ( ( P ` k ) sadd (/) ) )
63	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> P : NN0 --> ~P NN0 )
64	63, 43	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( P ` k ) e. ~P NN0 )
65	64	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( P ` k ) C_ NN0 )
66		sadid1 15190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P ` k ) C_ NN0 -> ( ( P ` k ) sadd (/) ) = ( P ` k ) )
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( P ` k ) sadd (/) ) = ( P ` k ) )
68	44, 62, 67	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) = ( P ` k ) )
69	68	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( P ` ( k + 1 ) ) = ( P ` N ) <-> ( P ` k ) = ( P ` N ) ) )
70	69	biimprd 238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( P ` k ) = ( P ` N ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) = ( P ` N ) ) )
71	70	expcom 451	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ph -> ( ( P ` k ) = ( P ` N ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) = ( P ` N ) ) ) )
72	71	a2d 29	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ( ph -> ( P ` k ) = ( P ` N ) ) -> ( ph -> ( P ` ( k + 1 ) ) = ( P ` N ) ) ) )
73	28, 31, 34, 37, 39, 72	uzind4 11746	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ph -> ( P ` M ) = ( P ` N ) ) )
74	24, 25, 73	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( P ` M ) = ( P ` N ) )
75		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
76	28, 31, 34, 34, 39, 72	uzind4 11746	. . . . . . . . 9 |- ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ph -> ( P ` ( k + 1 ) ) = ( P ` N ) ) )
77	75, 25, 76	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) = ( P ` N ) )
78	74, 77	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( P ` M ) = ( P ` ( k + 1 ) ) )
79	78	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( k e. ( P ` M ) <-> k e. ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
80	1	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) ) -> A C_ NN0 )
81	2	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) ) -> B C_ NN0 )
82		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) ) -> k e. NN0 )
83	80, 81, 3, 82	smuval 15203	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( k e. ( A smul B ) <-> k e. ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
84	79, 83	bitr4d 271	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( k e. ( P ` M ) <-> k e. ( A smul B ) ) )
85		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
86	85	nn0zd 11480	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. ZZ )
87	86	peano2zd 11485	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
88	5	nn0zd 11480	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ZZ )
89	88	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> N e. ZZ )
90		uztric 11709	. . . . . 6 |- ( ( ( k + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) \/ ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) ) )
91	87, 89, 90	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) \/ ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) ) )
92	23, 84, 91	mpjaodan 827	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( k e. ( P ` M ) <-> k e. ( A smul B ) ) )
93	92	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( k e. NN0 -> ( k e. ( P ` M ) <-> k e. ( A smul B ) ) ) )
94	11, 15, 93	pm5.21ndd 369	. 2 |- ( ph -> ( k e. ( P ` M ) <-> k e. ( A smul B ) ) )
95	94	eqrdv 2620	1 |- ( ph -> ( P ` M ) = ( A smul B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465   seqcseq 12801   sadd csad 15142   smul csmu 15143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-fal 1489  df-had 1533  df-cad 1546  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-bits 15144  df-sad 15173  df-smu 15198

This theorem is referenced by:  smupval  15210