Theorem smuval2 15204

Description: The partial sum sequence stabilizes at N after the N + 1-th element of the sequence; this stable value is the value of the sequence multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
smuval.a	|- ( ph -> A C_ NN0 )
smuval.b	|- ( ph -> B C_ NN0 )
smuval.p	|- P = seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )
smuval.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
smuval2.m	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
smuval2	|- ( ph -> ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` M ) ) )

Distinct variable groups:   m, n, p, A   n, N   ph, n   B, m, n, p

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   P( m, n, p)   M( m, n, p)   N( m, p)

Proof of Theorem smuval2

Dummy variables k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smuval2.m	. 2 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
2		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = ( N + 1 ) -> ( P ` x ) = ( P ` ( N + 1 ) ) )
3	2	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( x = ( N + 1 ) -> ( N e. ( P ` x ) <-> N e. ( P ` ( N + 1 ) ) ) )
4	3	bibi2d 332	. . . 4 |- ( x = ( N + 1 ) -> ( ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` x ) ) <-> ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` ( N + 1 ) ) ) ) )
5	4	imbi2d 330	. . 3 |- ( x = ( N + 1 ) -> ( ( ph -> ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` ( N + 1 ) ) ) ) ) )
6		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( P ` x ) = ( P ` k ) )
7	6	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( x = k -> ( N e. ( P ` x ) <-> N e. ( P ` k ) ) )
8	7	bibi2d 332	. . . 4 |- ( x = k -> ( ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` x ) ) <-> ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` k ) ) ) )
9	8	imbi2d 330	. . 3 |- ( x = k -> ( ( ph -> ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` k ) ) ) ) )
10		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( P ` x ) = ( P ` ( k + 1 ) ) )
11	10	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( N e. ( P ` x ) <-> N e. ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
12	11	bibi2d 332	. . . 4 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` x ) ) <-> ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
13	12	imbi2d 330	. . 3 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
14		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( P ` x ) = ( P ` M ) )
15	14	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( x = M -> ( N e. ( P ` x ) <-> N e. ( P ` M ) ) )
16	15	bibi2d 332	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` x ) ) <-> ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` M ) ) ) )
17	16	imbi2d 330	. . 3 |- ( x = M -> ( ( ph -> ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` M ) ) ) ) )
18		smuval.a	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ NN0 )
19		smuval.b	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ NN0 )
20		smuval.p	. . . . 5 |- P = seq 0 ( ( p e. ~P NN0 , m e. NN0 |-> ( p sadd { n e. NN0 | ( m e. A /\ ( n - m ) e. B ) } ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )
21		smuval.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
22	18, 19, 20, 21	smuval 15203	. . . 4 |- ( ph -> ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` ( N + 1 ) ) ) )
23	22	a1i 11	. . 3 |- ( ( N + 1 ) e. ZZ -> ( ph -> ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` ( N + 1 ) ) ) ) )
24	18	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> A C_ NN0 )
25	19	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> B C_ NN0 )
26		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
27	21, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 )
28		eluznn0 11757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
29	27, 28	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
30	24, 25, 20, 29	smupp1 15202	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) = ( ( P ` k ) sadd { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } ) )
31	30	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( N e. ( P ` ( k + 1 ) ) <-> N e. ( ( P ` k ) sadd { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } ) ) )
32	24, 25, 20	smupf 15200	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> P : NN0 --> ~P NN0 )
33	32, 29	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( P ` k ) e. ~P NN0 )
34	33	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( P ` k ) C_ NN0 )
35		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } C_ NN0
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } C_ NN0 )
37	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
38	34, 36, 37	sadeq 15194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( P ` k ) sadd { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) = ( ( ( ( P ` k ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) sadd ( { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) )
39		inrab2 3900	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) = { n e. ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) }
40		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) C_ NN0
41		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ n e. ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) -> n e. ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) )
42	40, 41	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ n e. ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) -> n e. NN0 )
43	42	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ n e. ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) -> n e. RR )
44	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> N e. NN0 )
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ n e. ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) -> N e. NN0 )
46	45	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ n e. ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) -> N e. RR )
47		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ n e. ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) -> 1 e. RR )
48	46, 47	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ n e. ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) -> ( N + 1 ) e. RR )
49	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ n e. ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) -> k e. NN0 )
50	49	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ n e. ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) -> k e. RR )
51		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) C_ ( 0..^ ( N + 1 ) )
52	51, 41	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ n e. ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) -> n e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) )
53		elfzolt2 12479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) -> n < ( N + 1 ) )
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ n e. ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) -> n < ( N + 1 ) )
55		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( N + 1 ) <_ k )
56	55	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ n e. ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) -> ( N + 1 ) <_ k )
57	43, 48, 50, 54, 56	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ n e. ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) -> n < k )
58	43, 50	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ n e. ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) -> ( n < k <-> -. k <_ n ) )
59	57, 58	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ n e. ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) -> -. k <_ n )
60	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ n e. ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) -> B C_ NN0 )
61	60	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ n e. ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( n - k ) e. B -> ( n - k ) e. NN0 ) )
62		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( n - k ) e. NN0 -> 0 <_ ( n - k ) )
63	61, 62	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ n e. ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( n - k ) e. B -> 0 <_ ( n - k ) ) )
64	43, 50	subge0d 10617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ n e. ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) -> ( 0 <_ ( n - k ) <-> k <_ n ) )
65	63, 64	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ n e. ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( n - k ) e. B -> k <_ n ) )
66	65	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ n e. ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) -> k <_ n ) )
67	59, 66	mtod 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ n e. ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) -> -. ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) )
68	67	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> A. n e. ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) -. ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) )
69		rabeq0 3957	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { n e. ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } = (/) <-> A. n e. ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) -. ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) )
70	68, 69	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> { n e. ( NN0 i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } = (/) )
71	39, 70	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) = (/) )
72	71	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( P ` k ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) sadd ( { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( ( P ` k ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) sadd (/) ) )
73		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P ` k ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) C_ ( P ` k )
74	73, 34	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( P ` k ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) C_ NN0 )
75		sadid1 15190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P ` k ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) C_ NN0 -> ( ( ( P ` k ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) sadd (/) ) = ( ( P ` k ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) )
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( P ` k ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) sadd (/) ) = ( ( P ` k ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) )
77	72, 76	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( P ` k ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) sadd ( { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( P ` k ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) )
78	77	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( P ` k ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) sadd ( { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) = ( ( ( P ` k ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) )
79		inass 3823	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( P ` k ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) = ( ( P ` k ) i^i ( ( 0..^ ( N + 1 ) ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) )
80		inidm 3822	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0..^ ( N + 1 ) ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) = ( 0..^ ( N + 1 ) )
81	80	ineq2i 3811	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P ` k ) i^i ( ( 0..^ ( N + 1 ) ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( P ` k ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) )
82	79, 81	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P ` k ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) = ( ( P ` k ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) )
83	78, 82	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( P ` k ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) sadd ( { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) = ( ( P ` k ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) )
84	38, 83	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( P ` k ) sadd { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) = ( ( P ` k ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) )
85	84	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( N e. ( ( ( P ` k ) sadd { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) <-> N e. ( ( P ` k ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) )
86		elin 3796	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ( ( P ` k ) sadd { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) <-> ( N e. ( ( P ` k ) sadd { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } ) /\ N e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) )
87		elin 3796	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ( P ` k ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) <-> ( N e. ( P ` k ) /\ N e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) )
88	85, 86, 87	3bitr3g 302	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N e. ( ( P ` k ) sadd { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } ) /\ N e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) <-> ( N e. ( P ` k ) /\ N e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) )
89		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
90	44, 89	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
91		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> N e. ( 0 ... N ) )
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> N e. ( 0 ... N ) )
93	44	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
94		fzval3 12536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( 0 ... N ) = ( 0..^ ( N + 1 ) ) )
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( 0 ... N ) = ( 0..^ ( N + 1 ) ) )
96	92, 95	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> N e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) )
97	96	biantrud 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( N e. ( ( P ` k ) sadd { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } ) <-> ( N e. ( ( P ` k ) sadd { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } ) /\ N e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) )
98	96	biantrud 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( N e. ( P ` k ) <-> ( N e. ( P ` k ) /\ N e. ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) )
99	88, 97, 98	3bitr4d 300	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( N e. ( ( P ` k ) sadd { n e. NN0 | ( k e. A /\ ( n - k ) e. B ) } ) <-> N e. ( P ` k ) ) )
100	31, 99	bitrd 268	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( N e. ( P ` ( k + 1 ) ) <-> N e. ( P ` k ) ) )
101	100	bibi2d 332	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` k ) ) ) )
102	101	biimprd 238	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` k ) ) -> ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) )
103	102	expcom 451	. . . 4 |- ( k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( ph -> ( ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` k ) ) -> ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
104	103	a2d 29	. . 3 |- ( k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( ( ph -> ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` k ) ) ) -> ( ph -> ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
105	5, 9, 13, 17, 23, 104	uzind4 11746	. 2 |- ( M e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( ph -> ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` M ) ) ) )
106	1, 105	mpcom 38	1 |- ( ph -> ( N e. ( A smul B ) <-> N e. ( P ` M ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   seqcseq 12801   sadd csad 15142   smul csmu 15143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-fal 1489  df-had 1533  df-cad 1546  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-bits 15144  df-sad 15173  df-smu 15198

This theorem is referenced by:  smupvallem  15205  smueqlem  15212