Theorem infpwfien 8885

Description: Any infinite well-orderable set is equinumerous to its set of finite subsets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infpwfien	|- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~~ A )

Proof of Theorem infpwfien

Dummy variables m n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infxpidm2 8840	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( A X. A ) ~~ A )
2		infn0 8222	. . . . . . . 8 |- ( om ~<_ A -> A =/= (/) )
3	2	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> A =/= (/) )
4		fseqen 8850	. . . . . . 7 |- ( ( ( A X. A ) ~~ A /\ A =/= (/) ) -> U_ n e. om ( A ^m n ) ~~ ( om X. A ) )
5	1, 3, 4	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> U_ n e. om ( A ^m n ) ~~ ( om X. A ) )
6		xpdom1g 8057	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( om X. A ) ~<_ ( A X. A ) )
7		domentr 8015	. . . . . . 7 |- ( ( ( om X. A ) ~<_ ( A X. A ) /\ ( A X. A ) ~~ A ) -> ( om X. A ) ~<_ A )
8	6, 1, 7	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( om X. A ) ~<_ A )
9		endomtr 8014	. . . . . 6 |- ( ( U_ n e. om ( A ^m n ) ~~ ( om X. A ) /\ ( om X. A ) ~<_ A ) -> U_ n e. om ( A ^m n ) ~<_ A )
10	5, 8, 9	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> U_ n e. om ( A ^m n ) ~<_ A )
11		numdom 8861	. . . . 5 |- ( ( A e. dom card /\ U_ n e. om ( A ^m n ) ~<_ A ) -> U_ n e. om ( A ^m n ) e. dom card )
12	10, 11	syldan 487	. . . 4 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> U_ n e. om ( A ^m n ) e. dom card )
13		eliun 4524	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) <-> E. n e. om x e. ( A ^m n ) )
14		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( A ^m n ) -> x : n --> A )
15	14	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> x : n --> A )
16		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x : n --> A -> ran x C_ A )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> ran x C_ A )
18		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
19	18	rnex 7100	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran x e. _V
20	19	elpw 4164	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ran x e. ~P A <-> ran x C_ A )
21	17, 20	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> ran x e. ~P A )
22		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> n e. om )
23		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- n C_ n
24		ssnnfi 8179	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. om /\ n C_ n ) -> n e. Fin )
25	22, 23, 24	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> n e. Fin )
26		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x : n --> A -> x Fn n )
27		dffn4 6121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x Fn n <-> x : n -onto-> ran x )
28	26, 27	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x : n --> A -> x : n -onto-> ran x )
29	15, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> x : n -onto-> ran x )
30		fofi 8252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. Fin /\ x : n -onto-> ran x ) -> ran x e. Fin )
31	25, 29, 30	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> ran x e. Fin )
32	21, 31	elind 3798	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ ( n e. om /\ x e. ( A ^m n ) ) ) -> ran x e. ( ~P A i^i Fin ) )
33	32	expr 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> ( x e. ( A ^m n ) -> ran x e. ( ~P A i^i Fin ) ) )
34	33	rexlimdva 3031	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( E. n e. om x e. ( A ^m n ) -> ran x e. ( ~P A i^i Fin ) ) )
35	13, 34	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) -> ran x e. ( ~P A i^i Fin ) ) )
36	35	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ x e. U_ n e. om ( A ^m n ) ) -> ran x e. ( ~P A i^i Fin ) )
37		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) = ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x )
38	36, 37	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) : U_ n e. om ( A ^m n ) --> ( ~P A i^i Fin ) )
39		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) : U_ n e. om ( A ^m n ) --> ( ~P A i^i Fin ) -> ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) Fn U_ n e. om ( A ^m n ) )
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) Fn U_ n e. om ( A ^m n ) )
41		frn 6053	. . . . . . 7 |- ( ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) : U_ n e. om ( A ^m n ) --> ( ~P A i^i Fin ) -> ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) C_ ( ~P A i^i Fin ) )
42	38, 41	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) C_ ( ~P A i^i Fin ) )
43		inss2 3834	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ Fin
44		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y e. ( ~P A i^i Fin ) )
45	43, 44	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y e. Fin )
46		isfi 7979	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. Fin <-> E. m e. om y ~~ m )
47	45, 46	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> E. m e. om y ~~ m )
48		ensym 8005	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y ~~ m -> m ~~ y )
49		bren 7964	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m ~~ y <-> E. x x : m -1-1-onto-> y )
50	48, 49	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y ~~ m -> E. x x : m -1-1-onto-> y )
51		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> m e. om )
52		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x : m -1-1-onto-> y -> x : m --> y )
53	52	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> x : m --> y )
54		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
55		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> y e. ( ~P A i^i Fin ) )
56	54, 55	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> y e. ~P A )
57	56	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> y C_ A )
58	53, 57	fssd 6057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> x : m --> A )
59		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> A e. dom card )
60		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- m e. _V
61		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. dom card /\ m e. _V ) -> ( x e. ( A ^m m ) <-> x : m --> A ) )
62	59, 60, 61	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> ( x e. ( A ^m m ) <-> x : m --> A ) )
63	58, 62	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> x e. ( A ^m m ) )
64		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = m -> ( A ^m n ) = ( A ^m m ) )
65	64	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = m -> ( x e. ( A ^m n ) <-> x e. ( A ^m m ) ) )
66	65	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. om /\ x e. ( A ^m m ) ) -> E. n e. om x e. ( A ^m n ) )
67	51, 63, 66	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> E. n e. om x e. ( A ^m n ) )
68	67, 13	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> x e. U_ n e. om ( A ^m n ) )
69		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x : m -1-1-onto-> y -> x : m -onto-> y )
70	69	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> x : m -onto-> y )
71		forn 6118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x : m -onto-> y -> ran x = y )
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> ran x = y )
73	72	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> y = ran x )
74	68, 73	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( m e. om /\ x : m -1-1-onto-> y ) ) -> ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) )
75	74	expr 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ m e. om ) -> ( x : m -1-1-onto-> y -> ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) ) )
76	75	eximdv 1846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ m e. om ) -> ( E. x x : m -1-1-onto-> y -> E. x ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) ) )
77	50, 76	syl5 34	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ m e. om ) -> ( y ~~ m -> E. x ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) ) )
78	77	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( E. m e. om y ~~ m -> E. x ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) ) )
79	47, 78	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> E. x ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) )
80	79	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> E. x ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) ) )
81		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
82	37	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. _V -> ( y e. ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) <-> E. x e. U_ n e. om ( A ^m n ) y = ran x ) )
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) <-> E. x e. U_ n e. om ( A ^m n ) y = ran x )
84		df-rex 2918	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. U_ n e. om ( A ^m n ) y = ran x <-> E. x ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) )
85	83, 84	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( y e. ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) <-> E. x ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) /\ y = ran x ) )
86	80, 85	syl6ibr 242	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y e. ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) ) )
87	86	ssrdv 3609	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) C_ ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) )
88	42, 87	eqssd 3620	. . . . 5 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) = ( ~P A i^i Fin ) )
89		df-fo 5894	. . . . 5 |- ( ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) : U_ n e. om ( A ^m n ) -onto-> ( ~P A i^i Fin ) <-> ( ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) Fn U_ n e. om ( A ^m n ) /\ ran ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) = ( ~P A i^i Fin ) ) )
90	40, 88, 89	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) : U_ n e. om ( A ^m n ) -onto-> ( ~P A i^i Fin ) )
91		fodomnum 8880	. . . 4 |- ( U_ n e. om ( A ^m n ) e. dom card -> ( ( x e. U_ n e. om ( A ^m n ) |-> ran x ) : U_ n e. om ( A ^m n ) -onto-> ( ~P A i^i Fin ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~<_ U_ n e. om ( A ^m n ) ) )
92	12, 90, 91	sylc 65	. . 3 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~<_ U_ n e. om ( A ^m n ) )
93		domtr 8009	. . 3 |- ( ( ( ~P A i^i Fin ) ~<_ U_ n e. om ( A ^m n ) /\ U_ n e. om ( A ^m n ) ~<_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~<_ A )
94	92, 10, 93	syl2anc 693	. 2 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~<_ A )
95		pwexg 4850	. . . . 5 |- ( A e. dom card -> ~P A e. _V )
96	95	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ~P A e. _V )
97		inex1g 4801	. . . 4 |- ( ~P A e. _V -> ( ~P A i^i Fin ) e. _V )
98	96, 97	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) e. _V )
99		infpwfidom 8851	. . 3 |- ( ( ~P A i^i Fin ) e. _V -> A ~<_ ( ~P A i^i Fin ) )
100	98, 99	syl 17	. 2 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> A ~<_ ( ~P A i^i Fin ) )
101		sbth 8080	. 2 |- ( ( ( ~P A i^i Fin ) ~<_ A /\ A ~<_ ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~~ A )
102	94, 100, 101	syl2anc 693	1 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~~ A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887  (class class class)co 6650   omcom 7065   ^m cmap 7857   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   cardccrd 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768

This theorem is referenced by:  inffien  8886  isnumbasgrplem3  37675