Theorem stdbdmet 22321

Description: The standard bounded metric is a proper metric given an extended metric and a positive real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
stdbdmet.1	|- D = ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) )

Assertion

Ref	Expression
stdbdmet	|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) -> D e. ( Met ` X ) )

Distinct variable groups:   x, y, C   x, R, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   D( x, y)

Proof of Theorem stdbdmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 11840	. . . 4 |- ( R e. RR+ -> R e. RR* )
2		rpgt0 11844	. . . 4 |- ( R e. RR+ -> 0 < R )
3	1, 2	jca 554	. . 3 |- ( R e. RR+ -> ( R e. RR* /\ 0 < R ) )
4		stdbdmet.1	. . . . 5 |- D = ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) )
5	4	stdbdxmet 22320	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> D e. ( *Met ` X ) )
6	5	3expb 1266	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ ( R e. RR* /\ 0 < R ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
7	3, 6	sylan2 491	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) -> D e. ( *Met ` X ) )
8		xmetcl 22136	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x C y ) e. RR* )
9	8	3expb 1266	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x C y ) e. RR* )
10	9	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x C y ) e. RR* )
11	1	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> R e. RR* )
12	10, 11	ifcld 4131	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) e. RR* )
13		rpre 11839	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> R e. RR )
14	13	ad2antlr 763	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> R e. RR )
15		xmetge0 22149	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> 0 <_ ( x C y ) )
16	15	3expb 1266	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 <_ ( x C y ) )
17	16	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 <_ ( x C y ) )
18		rpge0 11845	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> 0 <_ R )
19	18	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 <_ R )
20		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( ( x C y ) = if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) -> ( 0 <_ ( x C y ) <-> 0 <_ if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) ) )
21		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( R = if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) -> ( 0 <_ R <-> 0 <_ if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) ) )
22	20, 21	ifboth 4124	. . . . . 6 |- ( ( 0 <_ ( x C y ) /\ 0 <_ R ) -> 0 <_ if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) )
23	17, 19, 22	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 <_ if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) )
24		xrmin2 12009	. . . . . 6 |- ( ( ( x C y ) e. RR* /\ R e. RR* ) -> if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) <_ R )
25	10, 11, 24	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) <_ R )
26		xrrege0 12005	. . . . 5 |- ( ( ( if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) e. RR* /\ R e. RR ) /\ ( 0 <_ if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) /\ if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) <_ R ) ) -> if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) e. RR )
27	12, 14, 23, 25, 26	syl22anc 1327	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) e. RR )
28	27	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) -> A. x e. X A. y e. X if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) e. RR )
29	4	fmpt2 7237	. . 3 |- ( A. x e. X A. y e. X if ( ( x C y ) <_ R , ( x C y ) , R ) e. RR <-> D : ( X X. X ) --> RR )
30	28, 29	sylib 208	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) -> D : ( X X. X ) --> RR )
31		ismet2 22138	. 2 |- ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D e. ( *Met ` X ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) )
32	7, 30, 31	sylanbrc 698	1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) -> D e. ( Met ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   ifcif 4086   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   RRcr 9935   0cc0 9936   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   RR+crp 11832   *Metcxmt 19731   Metcme 19732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-xmet 19739  df-met 19740

This theorem is referenced by:  mopnex  22324  xlebnum  22764