Theorem rpge0 11845

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	|- ( A e. RR+ -> 0 <_ A )

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 11839	. 2 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
2		rpgt0 11844	. 2 |- ( A e. RR+ -> 0 < A )
3		0re 10040	. . 3 |- 0 e. RR
4		ltle 10126	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < A -> 0 <_ A ) )
5	3, 4	mpan 706	. 2 |- ( A e. RR -> ( 0 < A -> 0 <_ A ) )
6	1, 2, 5	sylc 65	1 |- ( A e. RR+ -> 0 <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   <_ cle 10075   RR+crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-rp 11833

This theorem is referenced by:  rprege0  11847  rpge0d  11876  xralrple  12036  xlemul1  12120  infmrp1  12174  sqrlem1  13983  rpsqrtcl  14005  divrcnv  14584  ef01bndlem  14914  stdbdmet  22321  reconnlem2  22630  cphsqrtcl3  22987  iscmet3lem3  23088  minveclem3  23200  itg2const2  23508  itg2mulclem  23513  aalioulem2  24088  pige3  24269  argregt0  24356  argrege0  24357  cxpcn3  24489  cxplim  24698  cxp2lim  24703  divsqrtsumlem  24706  logdiflbnd  24721  basellem4  24810  ppiltx  24903  bposlem8  25016  bposlem9  25017  chebbnd1  25161  mulog2sumlem2  25224  selbergb  25238  selberg2b  25241  nmcexi  28885  nmcopexi  28886  nmcfnexi  28910  sqsscirc1  29954  divsqrtid  30672  logdivsqrle  30728  hgt750lem2  30730  subfacval3  31171  ptrecube  33409  heicant  33444  itg2addnclem  33461  itg2gt0cn  33465  areacirclem1  33500  areacirclem4  33503  areacirc  33505  cntotbnd  33595  xralrple4  39589  xralrple3  39590  fourierdlem103  40426  blenre  42368