Theorem strle1 15973

Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strle1.i	|- I e. NN
strle1.a	|- A = I

Assertion

Ref	Expression
strle1	|- { <. A , X >. } Struct <. I , I >.

Proof of Theorem strle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strle1.i	. . 3 |- I e. NN
2	1	nnrei 11029	. . . 4 |- I e. RR
3	2	leidi 10562	. . 3 |- I <_ I
4	1, 1, 3	3pm3.2i 1239	. 2 |- ( I e. NN /\ I e. NN /\ I <_ I )
5		difss 3737	. . . 4 |- ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) C_ { <. A , X >. }
6		strle1.a	. . . . . 6 |- A = I
7	6, 1	eqeltri 2697	. . . . 5 |- A e. NN
8		funsng 5937	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ X e. _V ) -> Fun { <. A , X >. } )
9	7, 8	mpan 706	. . . 4 |- ( X e. _V -> Fun { <. A , X >. } )
10		funss 5907	. . . 4 |- ( ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) C_ { <. A , X >. } -> ( Fun { <. A , X >. } -> Fun ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) ) )
11	5, 9, 10	mpsyl 68	. . 3 |- ( X e. _V -> Fun ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) )
12		fun0 5954	. . . 4 |- Fun (/)
13		opprc2 4426	. . . . . . . 8 |- ( -. X e. _V -> <. A , X >. = (/) )
14	13	sneqd 4189	. . . . . . 7 |- ( -. X e. _V -> { <. A , X >. } = { (/) } )
15	14	difeq1d 3727	. . . . . 6 |- ( -. X e. _V -> ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) = ( { (/) } \ { (/) } ) )
16		difid 3948	. . . . . 6 |- ( { (/) } \ { (/) } ) = (/)
17	15, 16	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( -. X e. _V -> ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) = (/) )
18	17	funeqd 5910	. . . 4 |- ( -. X e. _V -> ( Fun ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) <-> Fun (/) ) )
19	12, 18	mpbiri 248	. . 3 |- ( -. X e. _V -> Fun ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) )
20	11, 19	pm2.61i 176	. 2 |- Fun ( { <. A , X >. } \ { (/) } )
21		dmsnopss 5607	. . 3 |- dom { <. A , X >. } C_ { A }
22	6	sneqi 4188	. . . 4 |- { A } = { I }
23	1	nnzi 11401	. . . . 5 |- I e. ZZ
24		fzsn 12383	. . . . 5 |- ( I e. ZZ -> ( I ... I ) = { I } )
25	23, 24	ax-mp 5	. . . 4 |- ( I ... I ) = { I }
26	22, 25	eqtr4i 2647	. . 3 |- { A } = ( I ... I )
27	21, 26	sseqtri 3637	. 2 |- dom { <. A , X >. } C_ ( I ... I )
28		isstruct 15870	. 2 |- ( { <. A , X >. } Struct <. I , I >. <-> ( ( I e. NN /\ I e. NN /\ I <_ I ) /\ Fun ( { <. A , X >. } \ { (/) } ) /\ dom { <. A , X >. } C_ ( I ... I ) ) )
29	4, 20, 27, 28	mpbir3an 1244	1 |- { <. A , X >. } Struct <. I , I >.

Syntax hints:   -. wn 3   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   Fun wfun 5882  (class class class)co 6650   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZcz 11377   ...cfz 12326   Struct cstr 15853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859

This theorem is referenced by:  strle2  15974  strle3  15975  1strstr  15979  srngfn  16008  lmodstr  16017  phlstr  16034  cnfldstr  19748