Theorem strleun 15972

Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strleun.f	|- F Struct <. A , B >.
strleun.g	|- G Struct <. C , D >.
strleun.l	|- B < C

Assertion

Ref	Expression
strleun	|- ( F u. G ) Struct <. A , D >.

Proof of Theorem strleun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strleun.f	. . . . . 6 |- F Struct <. A , B >.
2		isstruct 15870	. . . . . 6 |- ( F Struct <. A , B >. <-> ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( A ... B ) ) )
3	1, 2	mpbi 220	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( A ... B ) )
4	3	simp1i 1070	. . . 4 |- ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B )
5	4	simp1i 1070	. . 3 |- A e. NN
6		strleun.g	. . . . . 6 |- G Struct <. C , D >.
7		isstruct 15870	. . . . . 6 |- ( G Struct <. C , D >. <-> ( ( C e. NN /\ D e. NN /\ C <_ D ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( C ... D ) ) )
8	6, 7	mpbi 220	. . . . 5 |- ( ( C e. NN /\ D e. NN /\ C <_ D ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( C ... D ) )
9	8	simp1i 1070	. . . 4 |- ( C e. NN /\ D e. NN /\ C <_ D )
10	9	simp2i 1071	. . 3 |- D e. NN
11	4	simp3i 1072	. . . . 5 |- A <_ B
12	4	simp2i 1071	. . . . . . 7 |- B e. NN
13	12	nnrei 11029	. . . . . 6 |- B e. RR
14	9	simp1i 1070	. . . . . . 7 |- C e. NN
15	14	nnrei 11029	. . . . . 6 |- C e. RR
16		strleun.l	. . . . . 6 |- B < C
17	13, 15, 16	ltleii 10160	. . . . 5 |- B <_ C
18	5	nnrei 11029	. . . . . 6 |- A e. RR
19	18, 13, 15	letri 10166	. . . . 5 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C )
20	11, 17, 19	mp2an 708	. . . 4 |- A <_ C
21	9	simp3i 1072	. . . 4 |- C <_ D
22	10	nnrei 11029	. . . . 5 |- D e. RR
23	18, 15, 22	letri 10166	. . . 4 |- ( ( A <_ C /\ C <_ D ) -> A <_ D )
24	20, 21, 23	mp2an 708	. . 3 |- A <_ D
25	5, 10, 24	3pm3.2i 1239	. 2 |- ( A e. NN /\ D e. NN /\ A <_ D )
26	3	simp2i 1071	. . . . 5 |- Fun ( F \ { (/) } )
27	8	simp2i 1071	. . . . 5 |- Fun ( G \ { (/) } )
28	26, 27	pm3.2i 471	. . . 4 |- ( Fun ( F \ { (/) } ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) )
29		difss 3737	. . . . . . . 8 |- ( F \ { (/) } ) C_ F
30		dmss 5323	. . . . . . . 8 |- ( ( F \ { (/) } ) C_ F -> dom ( F \ { (/) } ) C_ dom F )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- dom ( F \ { (/) } ) C_ dom F
32	3	simp3i 1072	. . . . . . 7 |- dom F C_ ( A ... B )
33	31, 32	sstri 3612	. . . . . 6 |- dom ( F \ { (/) } ) C_ ( A ... B )
34		difss 3737	. . . . . . . 8 |- ( G \ { (/) } ) C_ G
35		dmss 5323	. . . . . . . 8 |- ( ( G \ { (/) } ) C_ G -> dom ( G \ { (/) } ) C_ dom G )
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- dom ( G \ { (/) } ) C_ dom G
37	8	simp3i 1072	. . . . . . 7 |- dom G C_ ( C ... D )
38	36, 37	sstri 3612	. . . . . 6 |- dom ( G \ { (/) } ) C_ ( C ... D )
39		ss2in 3840	. . . . . 6 |- ( ( dom ( F \ { (/) } ) C_ ( A ... B ) /\ dom ( G \ { (/) } ) C_ ( C ... D ) ) -> ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) C_ ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) )
40	33, 38, 39	mp2an 708	. . . . 5 |- ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) C_ ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) )
41		fzdisj 12368	. . . . . 6 |- ( B < C -> ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) = (/) )
42	16, 41	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) = (/)
43		sseq0 3975	. . . . 5 |- ( ( ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) C_ ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) /\ ( ( A ... B ) i^i ( C ... D ) ) = (/) ) -> ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) = (/) )
44	40, 42, 43	mp2an 708	. . . 4 |- ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) = (/)
45		funun 5932	. . . 4 |- ( ( ( Fun ( F \ { (/) } ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( dom ( F \ { (/) } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) = (/) ) -> Fun ( ( F \ { (/) } ) u. ( G \ { (/) } ) ) )
46	28, 44, 45	mp2an 708	. . 3 |- Fun ( ( F \ { (/) } ) u. ( G \ { (/) } ) )
47		difundir 3880	. . . 4 |- ( ( F u. G ) \ { (/) } ) = ( ( F \ { (/) } ) u. ( G \ { (/) } ) )
48	47	funeqi 5909	. . 3 |- ( Fun ( ( F u. G ) \ { (/) } ) <-> Fun ( ( F \ { (/) } ) u. ( G \ { (/) } ) ) )
49	46, 48	mpbir 221	. 2 |- Fun ( ( F u. G ) \ { (/) } )
50		dmun 5331	. . 3 |- dom ( F u. G ) = ( dom F u. dom G )
51	12	nnzi 11401	. . . . . . 7 |- B e. ZZ
52	10	nnzi 11401	. . . . . . 7 |- D e. ZZ
53	13, 15, 22	letri 10166	. . . . . . . 8 |- ( ( B <_ C /\ C <_ D ) -> B <_ D )
54	17, 21, 53	mp2an 708	. . . . . . 7 |- B <_ D
55		eluz2 11693	. . . . . . 7 |- ( D e. ( ZZ>= ` B ) <-> ( B e. ZZ /\ D e. ZZ /\ B <_ D ) )
56	51, 52, 54, 55	mpbir3an 1244	. . . . . 6 |- D e. ( ZZ>= ` B )
57		fzss2 12381	. . . . . 6 |- ( D e. ( ZZ>= ` B ) -> ( A ... B ) C_ ( A ... D ) )
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( A ... B ) C_ ( A ... D )
59	32, 58	sstri 3612	. . . 4 |- dom F C_ ( A ... D )
60	5	nnzi 11401	. . . . . . 7 |- A e. ZZ
61	14	nnzi 11401	. . . . . . 7 |- C e. ZZ
62		eluz2 11693	. . . . . . 7 |- ( C e. ( ZZ>= ` A ) <-> ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) )
63	60, 61, 20, 62	mpbir3an 1244	. . . . . 6 |- C e. ( ZZ>= ` A )
64		fzss1 12380	. . . . . 6 |- ( C e. ( ZZ>= ` A ) -> ( C ... D ) C_ ( A ... D ) )
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( C ... D ) C_ ( A ... D )
66	37, 65	sstri 3612	. . . 4 |- dom G C_ ( A ... D )
67	59, 66	unssi 3788	. . 3 |- ( dom F u. dom G ) C_ ( A ... D )
68	50, 67	eqsstri 3635	. 2 |- dom ( F u. G ) C_ ( A ... D )
69		isstruct 15870	. 2 |- ( ( F u. G ) Struct <. A , D >. <-> ( ( A e. NN /\ D e. NN /\ A <_ D ) /\ Fun ( ( F u. G ) \ { (/) } ) /\ dom ( F u. G ) C_ ( A ... D ) ) )
70	25, 49, 68, 69	mpbir3an 1244	1 |- ( F u. G ) Struct <. A , D >.

Syntax hints:   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   Fun wfun 5882   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   Struct cstr 15853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859

This theorem is referenced by:  strle2  15974  strle3  15975  srngfn  16008  lmodstr  16017  ipsstr  16024  phlstr  16034  odrngstr  16066  imasvalstr  16112  prdsvalstr  16113  ipostr  17153  psrvalstr  19363  cnfldstr  19748  eengstr  25860  algstr  37747