Theorem cnfldstr 19748

Description: The field of complex numbers is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldstr	|- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.

Proof of Theorem cnfldstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cnfld 19747	. 2 |- ℂfld = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
2		eqid 2622	. . . 4 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) = ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } )
3	2	srngfn 16008	. . 3 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) Struct <. 1 , 4 >.
4		9nn 11192	. . . . 5 |- 9 e. NN
5		tsetndx 16040	. . . . 5 |- (TopSet ` ndx ) = 9
6		9lt10 11673	. . . . 5 |- 9 < ; 1 0
7		10nn 11514	. . . . 5 |- ; 1 0 e. NN
8		plendx 16047	. . . . 5 |- ( le ` ndx ) = ; 1 0
9		1nn0 11308	. . . . . 6 |- 1 e. NN0
10		0nn0 11307	. . . . . 6 |- 0 e. NN0
11		2nn 11185	. . . . . 6 |- 2 e. NN
12		2pos 11112	. . . . . 6 |- 0 < 2
13	9, 10, 11, 12	declt 11530	. . . . 5 |- ; 1 0 < ; 1 2
14	9, 11	decnncl 11518	. . . . 5 |- ; 1 2 e. NN
15		dsndx 16062	. . . . 5 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
16	4, 5, 6, 7, 8, 13, 14, 15	strle3 15975	. . . 4 |- { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } Struct <. 9 , ; 1 2 >.
17		3nn 11186	. . . . . 6 |- 3 e. NN
18	9, 17	decnncl 11518	. . . . 5 |- ; 1 3 e. NN
19		unifndx 16064	. . . . 5 |- ( UnifSet ` ndx ) = ; 1 3
20	18, 19	strle1 15973	. . . 4 |- { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } Struct <.; 1 3 , ; 1 3 >.
21		2nn0 11309	. . . . 5 |- 2 e. NN0
22		2lt3 11195	. . . . 5 |- 2 < 3
23	9, 21, 17, 22	declt 11530	. . . 4 |- ; 1 2 < ; 1 3
24	16, 20, 23	strleun 15972	. . 3 |- ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) Struct <. 9 , ; 1 3 >.
25		4lt9 11226	. . 3 |- 4 < 9
26	3, 24, 25	strleun 15972	. 2 |- ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) ) Struct <. 1 , ; 1 3 >.
27	1, 26	eqbrtri 4674	1 |- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.

Syntax hints:   u. cun 3572   {csn 4177   {ctp 4181   <.cop 4183   class class class wbr 4653   o. ccom 5118   ` cfv 5888   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   9c9 11077  ;cdc 11493   *ccj 13836   abscabs 13974   Struct cstr 15853   ndxcnx 15854   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   *rcstv 15943  TopSetcts 15947   lecple 15948   distcds 15950   UnifSetcunif 15951   MetOpencmopn 19736  metUnifcmetu 19737  ℂ_fldccnfld 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-cnfld 19747

This theorem is referenced by:  cnfldex  19749  cnfldbas  19750  cnfldadd  19751  cnfldmul  19752  cnfldcj  19753  cnfldtset  19754  cnfldle  19755  cnfldds  19756  cnfldunif  19757  cnfldfunALT  19759  cffldtocusgr  26343