Theorem subsaliuncllem 40575

Description: A subspace sigma-algebra is closed under countable union. This is Lemma 121A (iii) of [Fremlin1] p. 35. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
subsaliuncllem.f	|- F/ y ph
subsaliuncllem.s	|- ( ph -> S e. V )
subsaliuncllem.g	|- G = ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } )
subsaliuncllem.e	|- E = ( H o. G )
subsaliuncllem.h	|- ( ph -> H Fn ran G )
subsaliuncllem.y	|- ( ph -> A. y e. ran G ( H ` y ) e. y )

Assertion

Ref	Expression
subsaliuncllem	|- ( ph -> E. e e. ( S ^m NN ) A. n e. NN ( F ` n ) = ( ( e ` n ) i^i D ) )

Distinct variable groups:   D, e   x, D   e, E, n   x, E, n   e, F   x, F   y, G   y, H   S, e, n   x, S   y, S, n   ph, n

Allowed substitution hints:   ph( x, y, e)   D( y, n)   E( y)   F( y, n)   G( x, e, n)   H( x, e, n)   V( x, y, e, n)

Proof of Theorem subsaliuncllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsaliuncllem.e	. . 3 |- E = ( H o. G )
2		subsaliuncllem.h	. . . . . . 7 |- ( ph -> H Fn ran G )
3		subsaliuncllem.f	. . . . . . . 8 |- F/ y ph
4		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
5		subsaliuncllem.g	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- G = ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } )
6	5	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. _V -> ( y e. ran G <-> E. n e. NN y = { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) )
7	4, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ran G <-> E. n e. NN y = { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } )
8	7	biimpi 206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ran G -> E. n e. NN y = { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } )
9		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } -> y = { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } )
10		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } C_ S
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } -> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } C_ S )
12	9, 11	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } -> y C_ S )
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( y = { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } -> y C_ S ) )
14	13	rexlimiv 3027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. n e. NN y = { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } -> y C_ S )
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ran G -> ( E. n e. NN y = { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } -> y C_ S ) )
16	8, 15	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ran G -> y C_ S )
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ran G ) -> y C_ S )
18		subsaliuncllem.y	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. y e. ran G ( H ` y ) e. y )
19	18	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ran G ) -> ( H ` y ) e. y )
20	17, 19	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ran G ) -> ( H ` y ) e. S )
21	20	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. ran G -> ( H ` y ) e. S ) )
22	3, 21	ralrimi 2957	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. ran G ( H ` y ) e. S )
23	2, 22	jca 554	. . . . . 6 |- ( ph -> ( H Fn ran G /\ A. y e. ran G ( H ` y ) e. S ) )
24		ffnfv 6388	. . . . . 6 |- ( H : ran G --> S <-> ( H Fn ran G /\ A. y e. ran G ( H ` y ) e. S ) )
25	23, 24	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ph -> H : ran G --> S )
26		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } = { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) }
27		subsaliuncllem.s	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. V )
28	26, 27	rabexd 4814	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } e. _V )
29	28	ralrimivw 2967	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. NN { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } e. _V )
30	5	fnmpt 6020	. . . . . . 7 |- ( A. n e. NN { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } e. _V -> G Fn NN )
31	29, 30	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> G Fn NN )
32		dffn3 6054	. . . . . 6 |- ( G Fn NN <-> G : NN --> ran G )
33	31, 32	sylib 208	. . . . 5 |- ( ph -> G : NN --> ran G )
34		fco 6058	. . . . 5 |- ( ( H : ran G --> S /\ G : NN --> ran G ) -> ( H o. G ) : NN --> S )
35	25, 33, 34	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( H o. G ) : NN --> S )
36		nnex 11026	. . . . . 6 |- NN e. _V
37	36	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> NN e. _V )
38	27, 37	elmapd 7871	. . . 4 |- ( ph -> ( ( H o. G ) e. ( S ^m NN ) <-> ( H o. G ) : NN --> S ) )
39	35, 38	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> ( H o. G ) e. ( S ^m NN ) )
40	1, 39	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ph -> E e. ( S ^m NN ) )
41	33	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( G ` n ) e. ran G )
42	18	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. y e. ran G ( H ` y ) e. y )
43		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( G ` n ) -> ( H ` y ) = ( H ` ( G ` n ) ) )
44		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( G ` n ) -> y = ( G ` n ) )
45	43, 44	eleq12d 2695	. . . . . . . 8 |- ( y = ( G ` n ) -> ( ( H ` y ) e. y <-> ( H ` ( G ` n ) ) e. ( G ` n ) ) )
46	45	rspcva 3307	. . . . . . 7 |- ( ( ( G ` n ) e. ran G /\ A. y e. ran G ( H ` y ) e. y ) -> ( H ` ( G ` n ) ) e. ( G ` n ) )
47	41, 42, 46	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( H ` ( G ` n ) ) e. ( G ` n ) )
48	33	ffund 6049	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Fun G )
49	48	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> Fun G )
50		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
51	5	dmeqi 5325	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom G = dom ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } )
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom G = dom ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) )
53		dmmptg 5632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. n e. NN { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } e. _V -> dom ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) = NN )
54	29, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) = NN )
55	52, 54	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom G = NN )
56	55	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> NN = dom G )
57	56	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> NN = dom G )
58	50, 57	eleqtrd 2703	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. dom G )
59	49, 58, 1	fvcod 39423	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) = ( H ` ( G ` n ) ) )
60	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G = ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) )
61	28	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } e. _V )
62	60, 61	fvmpt2d 6293	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( G ` n ) = { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } )
63	62	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } = ( G ` n ) )
64	59, 63	eleq12d 2695	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( E ` n ) e. { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } <-> ( H ` ( G ` n ) ) e. ( G ` n ) ) )
65	47, 64	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) e. { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } )
66		ineq1 3807	. . . . . . 7 |- ( x = ( E ` n ) -> ( x i^i D ) = ( ( E ` n ) i^i D ) )
67	66	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( x = ( E ` n ) -> ( ( F ` n ) = ( x i^i D ) <-> ( F ` n ) = ( ( E ` n ) i^i D ) ) )
68	67	elrab 3363	. . . . 5 |- ( ( E ` n ) e. { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } <-> ( ( E ` n ) e. S /\ ( F ` n ) = ( ( E ` n ) i^i D ) ) )
69	65, 68	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( E ` n ) e. S /\ ( F ` n ) = ( ( E ` n ) i^i D ) ) )
70	69	simprd 479	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) = ( ( E ` n ) i^i D ) )
71	70	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. n e. NN ( F ` n ) = ( ( E ` n ) i^i D ) )
72		fveq1 6190	. . . . . 6 |- ( e = E -> ( e ` n ) = ( E ` n ) )
73	72	ineq1d 3813	. . . . 5 |- ( e = E -> ( ( e ` n ) i^i D ) = ( ( E ` n ) i^i D ) )
74	73	eqeq2d 2632	. . . 4 |- ( e = E -> ( ( F ` n ) = ( ( e ` n ) i^i D ) <-> ( F ` n ) = ( ( E ` n ) i^i D ) ) )
75	74	ralbidv 2986	. . 3 |- ( e = E -> ( A. n e. NN ( F ` n ) = ( ( e ` n ) i^i D ) <-> A. n e. NN ( F ` n ) = ( ( E ` n ) i^i D ) ) )
76	75	rspcev 3309	. 2 |- ( ( E e. ( S ^m NN ) /\ A. n e. NN ( F ` n ) = ( ( E ` n ) i^i D ) ) -> E. e e. ( S ^m NN ) A. n e. NN ( F ` n ) = ( ( e ` n ) i^i D ) )
77	40, 71, 76	syl2anc 693	1 |- ( ph -> E. e e. ( S ^m NN ) A. n e. NN ( F ` n ) = ( ( e ` n ) i^i D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   NNcn 11020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-map 7859  df-nn 11021

This theorem is referenced by:  subsaliuncl  40576