Theorem suplem1pr 9874

Description: The union of a nonempty, bounded set of positive reals is a positive real. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
suplem1pr	|- ( ( A =/= (/) /\ E. x e. P. A. y e. A y <P x ) -> U. A e. P. )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem suplem1pr

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelpr 9820	. . . . . . . . 9 |- <P C_ ( P. X. P. )
2	1	brel 5168	. . . . . . . 8 |- ( y <P x -> ( y e. P. /\ x e. P. ) )
3	2	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( y <P x -> y e. P. )
4	3	ralimi 2952	. . . . . 6 |- ( A. y e. A y <P x -> A. y e. A y e. P. )
5		dfss3 3592	. . . . . 6 |- ( A C_ P. <-> A. y e. A y e. P. )
6	4, 5	sylibr 224	. . . . 5 |- ( A. y e. A y <P x -> A C_ P. )
7	6	rexlimivw 3029	. . . 4 |- ( E. x e. P. A. y e. A y <P x -> A C_ P. )
8	7	adantl 482	. . 3 |- ( ( A =/= (/) /\ E. x e. P. A. y e. A y <P x ) -> A C_ P. )
9		n0 3931	. . . . 5 |- ( A =/= (/) <-> E. z z e. A )
10		ssel 3597	. . . . . . 7 |- ( A C_ P. -> ( z e. A -> z e. P. ) )
11		prn0 9811	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. P. -> z =/= (/) )
12		0pss 4013	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) C. z <-> z =/= (/) )
13	11, 12	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( z e. P. -> (/) C. z )
14		elssuni 4467	. . . . . . . . 9 |- ( z e. A -> z C_ U. A )
15		psssstr 3713	. . . . . . . . 9 |- ( ( (/) C. z /\ z C_ U. A ) -> (/) C. U. A )
16	13, 14, 15	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. P. /\ z e. A ) -> (/) C. U. A )
17	16	expcom 451	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( z e. P. -> (/) C. U. A ) )
18	10, 17	sylcom 30	. . . . . 6 |- ( A C_ P. -> ( z e. A -> (/) C. U. A ) )
19	18	exlimdv 1861	. . . . 5 |- ( A C_ P. -> ( E. z z e. A -> (/) C. U. A ) )
20	9, 19	syl5bi 232	. . . 4 |- ( A C_ P. -> ( A =/= (/) -> (/) C. U. A ) )
21		prpssnq 9812	. . . . . . 7 |- ( x e. P. -> x C. Q. )
22	21	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( A C_ P. /\ x e. P. ) -> x C. Q. )
23		ltprord 9852	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. P. /\ x e. P. ) -> ( y <P x <-> y C. x ) )
24		pssss 3702	. . . . . . . . . 10 |- ( y C. x -> y C_ x )
25	23, 24	syl6bi 243	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. P. /\ x e. P. ) -> ( y <P x -> y C_ x ) )
26	2, 25	mpcom 38	. . . . . . . 8 |- ( y <P x -> y C_ x )
27	26	ralimi 2952	. . . . . . 7 |- ( A. y e. A y <P x -> A. y e. A y C_ x )
28		unissb 4469	. . . . . . 7 |- ( U. A C_ x <-> A. y e. A y C_ x )
29	27, 28	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( A. y e. A y <P x -> U. A C_ x )
30		sspsstr 3712	. . . . . . 7 |- ( ( U. A C_ x /\ x C. Q. ) -> U. A C. Q. )
31	30	expcom 451	. . . . . 6 |- ( x C. Q. -> ( U. A C_ x -> U. A C. Q. ) )
32	22, 29, 31	syl2im 40	. . . . 5 |- ( ( A C_ P. /\ x e. P. ) -> ( A. y e. A y <P x -> U. A C. Q. ) )
33	32	rexlimdva 3031	. . . 4 |- ( A C_ P. -> ( E. x e. P. A. y e. A y <P x -> U. A C. Q. ) )
34	20, 33	anim12d 586	. . 3 |- ( A C_ P. -> ( ( A =/= (/) /\ E. x e. P. A. y e. A y <P x ) -> ( (/) C. U. A /\ U. A C. Q. ) ) )
35	8, 34	mpcom 38	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ E. x e. P. A. y e. A y <P x ) -> ( (/) C. U. A /\ U. A C. Q. ) )
36		prcdnq 9815	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. P. /\ x e. z ) -> ( y <Q x -> y e. z ) )
37	36	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. P. -> ( x e. z -> ( y <Q x -> y e. z ) ) )
38	37	com3r 87	. . . . . . . . . . 11 |- ( y <Q x -> ( z e. P. -> ( x e. z -> y e. z ) ) )
39	10, 38	sylan9 689	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ P. /\ y <Q x ) -> ( z e. A -> ( x e. z -> y e. z ) ) )
40	39	reximdvai 3015	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ P. /\ y <Q x ) -> ( E. z e. A x e. z -> E. z e. A y e. z ) )
41		eluni2 4440	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U. A <-> E. z e. A x e. z )
42		eluni2 4440	. . . . . . . . 9 |- ( y e. U. A <-> E. z e. A y e. z )
43	40, 41, 42	3imtr4g 285	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ P. /\ y <Q x ) -> ( x e. U. A -> y e. U. A ) )
44	43	ex 450	. . . . . . 7 |- ( A C_ P. -> ( y <Q x -> ( x e. U. A -> y e. U. A ) ) )
45	44	com23 86	. . . . . 6 |- ( A C_ P. -> ( x e. U. A -> ( y <Q x -> y e. U. A ) ) )
46	45	alrimdv 1857	. . . . 5 |- ( A C_ P. -> ( x e. U. A -> A. y ( y <Q x -> y e. U. A ) ) )
47		eluni 4439	. . . . . 6 |- ( x e. U. A <-> E. z ( x e. z /\ z e. A ) )
48		prnmax 9817	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. P. /\ x e. z ) -> E. y e. z x <Q y )
49	48	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. P. -> ( x e. z -> E. y e. z x <Q y ) )
50	10, 49	syl6 35	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ P. -> ( z e. A -> ( x e. z -> E. y e. z x <Q y ) ) )
51	50	com23 86	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ P. -> ( x e. z -> ( z e. A -> E. y e. z x <Q y ) ) )
52	51	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ P. /\ x e. z ) -> ( z e. A -> E. y e. z x <Q y ) )
53		ssrexv 3667	. . . . . . . . . 10 |- ( z C_ U. A -> ( E. y e. z x <Q y -> E. y e. U. A x <Q y ) )
54	14, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( z e. A -> ( E. y e. z x <Q y -> E. y e. U. A x <Q y ) )
55	52, 54	sylcom 30	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ P. /\ x e. z ) -> ( z e. A -> E. y e. U. A x <Q y ) )
56	55	expimpd 629	. . . . . . 7 |- ( A C_ P. -> ( ( x e. z /\ z e. A ) -> E. y e. U. A x <Q y ) )
57	56	exlimdv 1861	. . . . . 6 |- ( A C_ P. -> ( E. z ( x e. z /\ z e. A ) -> E. y e. U. A x <Q y ) )
58	47, 57	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( A C_ P. -> ( x e. U. A -> E. y e. U. A x <Q y ) )
59	46, 58	jcad 555	. . . 4 |- ( A C_ P. -> ( x e. U. A -> ( A. y ( y <Q x -> y e. U. A ) /\ E. y e. U. A x <Q y ) ) )
60	59	ralrimiv 2965	. . 3 |- ( A C_ P. -> A. x e. U. A ( A. y ( y <Q x -> y e. U. A ) /\ E. y e. U. A x <Q y ) )
61	8, 60	syl 17	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ E. x e. P. A. y e. A y <P x ) -> A. x e. U. A ( A. y ( y <Q x -> y e. U. A ) /\ E. y e. U. A x <Q y ) )
62		elnp 9809	. 2 |- ( U. A e. P. <-> ( ( (/) C. U. A /\ U. A C. Q. ) /\ A. x e. U. A ( A. y ( y <Q x -> y e. U. A ) /\ E. y e. U. A x <Q y ) ) )
63	35, 61, 62	sylanbrc 698	1 |- ( ( A =/= (/) /\ E. x e. P. A. y e. A y <P x ) -> U. A e. P. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   C. wpss 3575   (/)c0 3915   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   Q.cnq 9674   <Q cltq 9680   P.cnp 9681   <P cltp 9685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-om 7066  df-ni 9694  df-nq 9734  df-ltnq 9740  df-np 9803  df-ltp 9807

This theorem is referenced by:  supexpr  9876