Theorem suplem2pr 9875

Description: The union of a set of positive reals (if a positive real) is its supremum (the least upper bound). Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
suplem2pr	|- ( A C_ P. -> ( ( y e. A -> -. U. A <P y ) /\ ( y <P U. A -> E. z e. A y <P z ) ) )

Distinct variable group:   y, z, A

Proof of Theorem suplem2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelpr 9820	. . . . . 6 |- <P C_ ( P. X. P. )
2	1	brel 5168	. . . . 5 |- ( y <P U. A -> ( y e. P. /\ U. A e. P. ) )
3	2	simpld 475	. . . 4 |- ( y <P U. A -> y e. P. )
4		ralnex 2992	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. A -. y <P z <-> -. E. z e. A y <P z )
5		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ P. /\ z e. A ) -> z e. P. )
6		ltsopr 9854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- <P Or P.
7		sotric 5061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <P Or P. /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> ( y <P z <-> -. ( y = z \/ z <P y ) ) )
8	6, 7	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( y <P z <-> -. ( y = z \/ z <P y ) ) )
9	8	con2bid 344	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( ( y = z \/ z <P y ) <-> -. y <P z ) )
10	9	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. P. /\ y e. P. ) -> ( ( y = z \/ z <P y ) <-> -. y <P z ) )
11		ltprord 9852	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. P. /\ y e. P. ) -> ( z <P y <-> z C. y ) )
12	11	orbi2d 738	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. P. /\ y e. P. ) -> ( ( y = z \/ z <P y ) <-> ( y = z \/ z C. y ) ) )
13		sspss 3706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z C_ y <-> ( z C. y \/ z = y ) )
14		equcom 1945	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = y <-> y = z )
15	14	orbi2i 541	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z C. y \/ z = y ) <-> ( z C. y \/ y = z ) )
16		orcom 402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z C. y \/ y = z ) <-> ( y = z \/ z C. y ) )
17	13, 15, 16	3bitri 286	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z C_ y <-> ( y = z \/ z C. y ) )
18	12, 17	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. P. /\ y e. P. ) -> ( ( y = z \/ z <P y ) <-> z C_ y ) )
19	10, 18	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. P. /\ y e. P. ) -> ( -. y <P z <-> z C_ y ) )
20	5, 19	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ P. /\ z e. A ) /\ y e. P. ) -> ( -. y <P z <-> z C_ y ) )
21	20	an32s 846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ P. /\ y e. P. ) /\ z e. A ) -> ( -. y <P z <-> z C_ y ) )
22	21	ralbidva 2985	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ P. /\ y e. P. ) -> ( A. z e. A -. y <P z <-> A. z e. A z C_ y ) )
23	4, 22	syl5bbr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ P. /\ y e. P. ) -> ( -. E. z e. A y <P z <-> A. z e. A z C_ y ) )
24		unissb 4469	. . . . . . . 8 |- ( U. A C_ y <-> A. z e. A z C_ y )
25	23, 24	syl6bbr 278	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ P. /\ y e. P. ) -> ( -. E. z e. A y <P z <-> U. A C_ y ) )
26		ssnpss 3710	. . . . . . . 8 |- ( U. A C_ y -> -. y C. U. A )
27		ltprord 9852	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. P. /\ U. A e. P. ) -> ( y <P U. A <-> y C. U. A ) )
28	27	biimpd 219	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. P. /\ U. A e. P. ) -> ( y <P U. A -> y C. U. A ) )
29	2, 28	mpcom 38	. . . . . . . 8 |- ( y <P U. A -> y C. U. A )
30	26, 29	nsyl 135	. . . . . . 7 |- ( U. A C_ y -> -. y <P U. A )
31	25, 30	syl6bi 243	. . . . . 6 |- ( ( A C_ P. /\ y e. P. ) -> ( -. E. z e. A y <P z -> -. y <P U. A ) )
32	31	con4d 114	. . . . 5 |- ( ( A C_ P. /\ y e. P. ) -> ( y <P U. A -> E. z e. A y <P z ) )
33	32	ex 450	. . . 4 |- ( A C_ P. -> ( y e. P. -> ( y <P U. A -> E. z e. A y <P z ) ) )
34	3, 33	syl5 34	. . 3 |- ( A C_ P. -> ( y <P U. A -> ( y <P U. A -> E. z e. A y <P z ) ) )
35	34	pm2.43d 53	. 2 |- ( A C_ P. -> ( y <P U. A -> E. z e. A y <P z ) )
36		elssuni 4467	. . . 4 |- ( y e. A -> y C_ U. A )
37		ssnpss 3710	. . . 4 |- ( y C_ U. A -> -. U. A C. y )
38	36, 37	syl 17	. . 3 |- ( y e. A -> -. U. A C. y )
39	1	brel 5168	. . . 4 |- ( U. A <P y -> ( U. A e. P. /\ y e. P. ) )
40		ltprord 9852	. . . . 5 |- ( ( U. A e. P. /\ y e. P. ) -> ( U. A <P y <-> U. A C. y ) )
41	40	biimpd 219	. . . 4 |- ( ( U. A e. P. /\ y e. P. ) -> ( U. A <P y -> U. A C. y ) )
42	39, 41	mpcom 38	. . 3 |- ( U. A <P y -> U. A C. y )
43	38, 42	nsyl 135	. 2 |- ( y e. A -> -. U. A <P y )
44	35, 43	jctil 560	1 |- ( A C_ P. -> ( ( y e. A -> -. U. A <P y ) /\ ( y <P U. A -> E. z e. A y <P z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   C. wpss 3575   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   Or wor 5034   P.cnp 9681   <P cltp 9685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ni 9694  df-mi 9696  df-lti 9697  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-ltnq 9740  df-np 9803  df-ltp 9807

This theorem is referenced by:  supexpr  9876