Theorem ltsopr 9854

Description: Positive real 'less than' is a strict ordering. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltsopr	|- <P Or P.

Proof of Theorem ltsopr

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssirr 3707	. . . 4 |- -. x C. x
2		ltprord 9852	. . . 4 |- ( ( x e. P. /\ x e. P. ) -> ( x <P x <-> x C. x ) )
3	1, 2	mtbiri 317	. . 3 |- ( ( x e. P. /\ x e. P. ) -> -. x <P x )
4	3	anidms 677	. 2 |- ( x e. P. -> -. x <P x )
5		psstr 3711	. . 3 |- ( ( x C. y /\ y C. z ) -> x C. z )
6		ltprord 9852	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( x <P y <-> x C. y ) )
7	6	3adant3 1081	. . . . 5 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. /\ z e. P. ) -> ( x <P y <-> x C. y ) )
8		ltprord 9852	. . . . . 6 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( y <P z <-> y C. z ) )
9	8	3adant1 1079	. . . . 5 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. /\ z e. P. ) -> ( y <P z <-> y C. z ) )
10	7, 9	anbi12d 747	. . . 4 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. /\ z e. P. ) -> ( ( x <P y /\ y <P z ) <-> ( x C. y /\ y C. z ) ) )
11		ltprord 9852	. . . . 5 |- ( ( x e. P. /\ z e. P. ) -> ( x <P z <-> x C. z ) )
12	11	3adant2 1080	. . . 4 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. /\ z e. P. ) -> ( x <P z <-> x C. z ) )
13	10, 12	imbi12d 334	. . 3 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. /\ z e. P. ) -> ( ( ( x <P y /\ y <P z ) -> x <P z ) <-> ( ( x C. y /\ y C. z ) -> x C. z ) ) )
14	5, 13	mpbiri 248	. 2 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. /\ z e. P. ) -> ( ( x <P y /\ y <P z ) -> x <P z ) )
15		psslinpr 9853	. . 3 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( x C. y \/ x = y \/ y C. x ) )
16		biidd 252	. . . 4 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( x = y <-> x = y ) )
17		ltprord 9852	. . . . 5 |- ( ( y e. P. /\ x e. P. ) -> ( y <P x <-> y C. x ) )
18	17	ancoms 469	. . . 4 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( y <P x <-> y C. x ) )
19	6, 16, 18	3orbi123d 1398	. . 3 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( ( x <P y \/ x = y \/ y <P x ) <-> ( x C. y \/ x = y \/ y C. x ) ) )
20	15, 19	mpbird 247	. 2 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( x <P y \/ x = y \/ y <P x ) )
21	4, 14, 20	issoi 5066	1 |- <P Or P.

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   C. wpss 3575   class class class wbr 4653   Or wor 5034   P.cnp 9681   <P cltp 9685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ni 9694  df-mi 9696  df-lti 9697  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-ltnq 9740  df-np 9803  df-ltp 9807

This theorem is referenced by:  ltapr  9867  addcanpr  9868  suplem2pr  9875  ltsosr  9915