Theorem supsr 9933

Description: A nonempty, bounded set of signed reals has a supremum. (Contributed by NM, 21-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
supsr	|- ( ( A =/= (/) /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem supsr

Dummy variables w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 3931	. . 3 |- ( A =/= (/) <-> E. u u e. A )
2		ltrelsr 9889	. . . . . . . . . . . . 13 |- <R C_ ( R. X. R. )
3	2	brel 5168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y <R x -> ( y e. R. /\ x e. R. ) )
4	3	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( y <R x -> y e. R. )
5	4	ralimi 2952	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. A y <R x -> A. y e. A y e. R. )
6		dfss3 3592	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ R. <-> A. y e. A y e. R. )
7	5, 6	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A y <R x -> A C_ R. )
8	7	sseld 3602	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A y <R x -> ( u e. A -> u e. R. ) )
9	8	rexlimivw 3029	. . . . . . 7 |- ( E. x e. R. A. y e. A y <R x -> ( u e. A -> u e. R. ) )
10	9	impcom 446	. . . . . 6 |- ( ( u e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> u e. R. )
11		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( u = if ( u e. R. , u , 1R ) -> ( u e. A <-> if ( u e. R. , u , 1R ) e. A ) )
12	11	anbi1d 741	. . . . . . . 8 |- ( u = if ( u e. R. , u , 1R ) -> ( ( u e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) <-> ( if ( u e. R. , u , 1R ) e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) ) )
13	12	imbi1d 331	. . . . . . 7 |- ( u = if ( u e. R. , u , 1R ) -> ( ( ( u e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) ) <-> ( ( if ( u e. R. , u , 1R ) e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) ) ) )
14		opeq1 4402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = w -> <. v , 1P >. = <. w , 1P >. )
15	14	eceq1d 7783	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = w -> [ <. v , 1P >. ] ~R = [ <. w , 1P >. ] ~R )
16	15	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( v = w -> ( if ( u e. R. , u , 1R ) +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = ( if ( u e. R. , u , 1R ) +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) )
17	16	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( v = w -> ( ( if ( u e. R. , u , 1R ) +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) e. A <-> ( if ( u e. R. , u , 1R ) +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A ) )
18	17	cbvabv 2747	. . . . . . . 8 |- { v | ( if ( u e. R. , u , 1R ) +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) e. A } = { w | ( if ( u e. R. , u , 1R ) +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A }
19		1sr 9902	. . . . . . . . 9 |- 1R e. R.
20	19	elimel 4150	. . . . . . . 8 |- if ( u e. R. , u , 1R ) e. R.
21	18, 20	supsrlem 9932	. . . . . . 7 |- ( ( if ( u e. R. , u , 1R ) e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) )
22	13, 21	dedth 4139	. . . . . 6 |- ( u e. R. -> ( ( u e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
23	10, 22	mpcom 38	. . . . 5 |- ( ( u e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) )
24	23	ex 450	. . . 4 |- ( u e. A -> ( E. x e. R. A. y e. A y <R x -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
25	24	exlimiv 1858	. . 3 |- ( E. u u e. A -> ( E. x e. R. A. y e. A y <R x -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
26	1, 25	sylbi 207	. 2 |- ( A =/= (/) -> ( E. x e. R. A. y e. A y <R x -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
27	26	imp 445	1 |- ( ( A =/= (/) /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   <.cop 4183   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   [cec 7740   1Pc1p 9682   ~R cer 9686   R.cnr 9687   1Rc1r 9689   +R cplr 9691   <R cltr 9693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-ni 9694  df-pli 9695  df-mi 9696  df-lti 9697  df-plpq 9730  df-mpq 9731  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-erq 9735  df-plq 9736  df-mq 9737  df-1nq 9738  df-rq 9739  df-ltnq 9740  df-np 9803  df-1p 9804  df-plp 9805  df-mp 9806  df-ltp 9807  df-enr 9877  df-nr 9878  df-plr 9879  df-mr 9880  df-ltr 9881  df-0r 9882  df-1r 9883  df-m1r 9884

This theorem is referenced by:  axpre-sup  9990