Theorem supsrlem 9932

Description: Lemma for supremum theorem. (Contributed by NM, 21-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
supsrlem.1	|- B = { w | ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A }
supsrlem.2	|- C e. R.

Assertion

Ref	Expression
supsrlem	|- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, w, A   x, B, y, z, w   x, C, y, z, w

Proof of Theorem supsrlem

Dummy variables v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supsrlem.2	. . . . . . 7 |- C e. R.
2		0idsr 9918	. . . . . . 7 |- ( C e. R. -> ( C +R 0R ) = C )
3	1, 2	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> ( C +R 0R ) = C )
4		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> C e. A )
5	3, 4	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> ( C +R 0R ) e. A )
6		1pr 9837	. . . . . . 7 |- 1P e. P.
7	6	elexi 3213	. . . . . 6 |- 1P e. _V
8		opeq1 4402	. . . . . . . . . 10 |- ( w = 1P -> <. w , 1P >. = <. 1P , 1P >. )
9	8	eceq1d 7783	. . . . . . . . 9 |- ( w = 1P -> [ <. w , 1P >. ] ~R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R )
10		df-0r 9882	. . . . . . . . 9 |- 0R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
11	9, 10	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 |- ( w = 1P -> [ <. w , 1P >. ] ~R = 0R )
12	11	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( w = 1P -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = ( C +R 0R ) )
13	12	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( w = 1P -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A <-> ( C +R 0R ) e. A ) )
14		supsrlem.1	. . . . . 6 |- B = { w | ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A }
15	7, 13, 14	elab2 3354	. . . . 5 |- ( 1P e. B <-> ( C +R 0R ) e. A )
16	5, 15	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> 1P e. B )
17		ne0i 3921	. . . 4 |- ( 1P e. B -> B =/= (/) )
18	16, 17	syl 17	. . 3 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> B =/= (/) )
19		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( y = C -> ( y <R x <-> C <R x ) )
20	19	rspccv 3306	. . . . . . 7 |- ( A. y e. A y <R x -> ( C e. A -> C <R x ) )
21		0lt1sr 9916	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0R <R 1R
22		m1r 9903	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -1R e. R.
23		ltasr 9921	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -1R e. R. -> ( 0R <R 1R <-> ( -1R +R 0R ) <R ( -1R +R 1R ) ) )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0R <R 1R <-> ( -1R +R 0R ) <R ( -1R +R 1R ) )
25	21, 24	mpbi 220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -1R +R 0R ) <R ( -1R +R 1R )
26		0idsr 9918	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -1R e. R. -> ( -1R +R 0R ) = -1R )
27	22, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -1R +R 0R ) = -1R
28		m1p1sr 9913	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -1R +R 1R ) = 0R
29	25, 27, 28	3brtr3i 4682	. . . . . . . . . . 11 |- -1R <R 0R
30		ltasr 9921	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. R. -> ( -1R <R 0R <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R 0R ) ) )
31	1, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( -1R <R 0R <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R 0R ) )
32	29, 31	mpbi 220	. . . . . . . . . 10 |- ( C +R -1R ) <R ( C +R 0R )
33	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( C +R 0R ) = C
34	32, 33	breqtri 4678	. . . . . . . . 9 |- ( C +R -1R ) <R C
35		ltsosr 9915	. . . . . . . . . 10 |- <R Or R.
36		ltrelsr 9889	. . . . . . . . . 10 |- <R C_ ( R. X. R. )
37	35, 36	sotri 5523	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C +R -1R ) <R C /\ C <R x ) -> ( C +R -1R ) <R x )
38	34, 37	mpan 706	. . . . . . . 8 |- ( C <R x -> ( C +R -1R ) <R x )
39	1	map2psrpr 9931	. . . . . . . 8 |- ( ( C +R -1R ) <R x <-> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x )
40	38, 39	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( C <R x -> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x )
41	20, 40	syl6 35	. . . . . 6 |- ( A. y e. A y <R x -> ( C e. A -> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) )
42		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> y <R x ) )
43	42	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> A. y e. A y <R x ) )
44	14	abeq2i 2735	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. B <-> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A )
45		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
46	45	rspccv 3306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
47	1	ltpsrpr 9930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> w <P v )
48	46, 47	syl6ib 241	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A -> w <P v ) )
49	44, 48	syl5bi 232	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( w e. B -> w <P v ) )
50	49	ralrimiv 2965	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> A. w e. B w <P v )
51	43, 50	syl6bir 244	. . . . . . . 8 |- ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> ( A. y e. A y <R x -> A. w e. B w <P v ) )
52	51	com12 32	. . . . . . 7 |- ( A. y e. A y <R x -> ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> A. w e. B w <P v ) )
53	52	reximdv 3016	. . . . . 6 |- ( A. y e. A y <R x -> ( E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> E. v e. P. A. w e. B w <P v ) )
54	41, 53	syld 47	. . . . 5 |- ( A. y e. A y <R x -> ( C e. A -> E. v e. P. A. w e. B w <P v ) )
55	54	rexlimivw 3029	. . . 4 |- ( E. x e. R. A. y e. A y <R x -> ( C e. A -> E. v e. P. A. w e. B w <P v ) )
56	55	impcom 446	. . 3 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> E. v e. P. A. w e. B w <P v )
57		supexpr 9876	. . 3 |- ( ( B =/= (/) /\ E. v e. P. A. w e. B w <P v ) -> E. v e. P. ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) )
58	18, 56, 57	syl2anc 693	. 2 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> E. v e. P. ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) )
59	1	mappsrpr 9929	. . . . . . 7 |- ( ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> v e. P. )
60	36	brel 5168	. . . . . . 7 |- ( ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( ( C +R -1R ) e. R. /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) e. R. ) )
61	59, 60	sylbir 225	. . . . . 6 |- ( v e. P. -> ( ( C +R -1R ) e. R. /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) e. R. ) )
62	61	simprd 479	. . . . 5 |- ( v e. P. -> ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) e. R. )
63	62	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) -> ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) e. R. )
64	35, 36	sotri 5523	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) -> ( C +R -1R ) <R y )
65	59, 64	sylanbr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. P. /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) -> ( C +R -1R ) <R y )
66	1	map2psrpr 9931	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C +R -1R ) <R y <-> E. w e. P. ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y )
67	65, 66	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. P. /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) -> E. w e. P. ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y )
68		rexex 3002	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. w e. P. ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> E. w ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y )
69		df-ral 2917	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. w e. B -. v <P w <-> A. w ( w e. B -> -. v <P w ) )
70		19.29 1801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. w ( w e. B -> -. v <P w ) /\ E. w ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> E. w ( ( w e. B -> -. v <P w ) /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) )
71		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A <-> y e. A ) )
72	44, 71	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( w e. B <-> y e. A ) )
73	1	ltpsrpr 9930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <-> v <P w )
74		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <-> ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
75	73, 74	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( v <P w <-> ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
76	75	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( -. v <P w <-> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
77	72, 76	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( ( w e. B -> -. v <P w ) <-> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) ) )
78	77	biimpac 503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( w e. B -> -. v <P w ) /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
79	78	exlimiv 1858	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. w ( ( w e. B -> -. v <P w ) /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
80	70, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. w ( w e. B -> -. v <P w ) /\ E. w ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
81	69, 80	sylanb 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. w e. B -. v <P w /\ E. w ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
82	81	expcom 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. w ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( A. w e. B -. v <P w -> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) ) )
83	67, 68, 82	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. P. /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) -> ( A. w e. B -. v <P w -> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) ) )
84	83	impd 447	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. P. /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) -> ( ( A. w e. B -. v <P w /\ y e. A ) -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
85	84	impancom 456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. P. /\ ( A. w e. B -. v <P w /\ y e. A ) ) -> ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
86	85	pm2.01d 181	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. P. /\ ( A. w e. B -. v <P w /\ y e. A ) ) -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y )
87	86	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( v e. P. /\ A. w e. B -. v <P w ) -> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
88	87	ralrimiv 2965	. . . . . . 7 |- ( ( v e. P. /\ A. w e. B -. v <P w ) -> A. y e. A -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y )
89	88	ex 450	. . . . . 6 |- ( v e. P. -> ( A. w e. B -. v <P w -> A. y e. A -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
90	89	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) -> ( A. w e. B -. v <P w -> A. y e. A -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
91		r19.29 3072	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) /\ E. w e. P. ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> E. w e. P. ( ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) )
92		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
93	47, 92	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( w <P v <-> y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
94	93	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> w <P v ) )
95		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- u e. _V
96		opeq1 4402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w = u -> <. w , 1P >. = <. u , 1P >. )
97	96	eceq1d 7783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w = u -> [ <. w , 1P >. ] ~R = [ <. u , 1P >. ] ~R )
98	97	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = u -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) )
99	98	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = u -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A <-> ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) e. A ) )
100	95, 99, 14	elab2 3354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u e. B <-> ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) e. A )
101		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R z <-> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) ) )
102	1	ltpsrpr 9930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) <-> w <P u )
103	101, 102	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R z <-> w <P u ) )
104	103	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) e. A /\ w <P u ) -> E. z e. A ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R z )
105	100, 104	sylanb 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( u e. B /\ w <P u ) -> E. z e. A ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R z )
106	105	rexlimiva 3028	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. u e. B w <P u -> E. z e. A ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R z )
107		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R z <-> y <R z ) )
108	107	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( E. z e. A ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R z <-> E. z e. A y <R z ) )
109	106, 108	syl5ib 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( E. u e. B w <P u -> E. z e. A y <R z ) )
110	94, 109	imim12d 81	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
111	110	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) )
112	111	rexlimivw 3029	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. w e. P. ( ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) )
113	91, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) /\ E. w e. P. ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) )
114	66, 113	sylan2b 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) /\ ( C +R -1R ) <R y ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) )
115	114	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) -> ( ( C +R -1R ) <R y -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
116	115	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. A /\ v e. P. ) /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> ( ( C +R -1R ) <R y -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
117	116	a1dd 50	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. A /\ v e. P. ) /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> ( ( C +R -1R ) <R y -> ( y e. R. -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
118	35, 36	sotri2 5525	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. R. /\ -. ( C +R -1R ) <R y /\ ( C +R -1R ) <R C ) -> y <R C )
119	34, 118	mp3an3 1413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. R. /\ -. ( C +R -1R ) <R y ) -> y <R C )
120		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = C -> ( y <R z <-> y <R C ) )
121	120	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. A /\ y <R C ) -> E. z e. A y <R z )
122	121	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. A -> ( y <R C -> E. z e. A y <R z ) )
123	122	a1dd 50	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. A -> ( y <R C -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
124	119, 123	syl5 34	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. A -> ( ( y e. R. /\ -. ( C +R -1R ) <R y ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
125	124	expcomd 454	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. A -> ( -. ( C +R -1R ) <R y -> ( y e. R. -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
126	125	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. A /\ v e. P. ) /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> ( -. ( C +R -1R ) <R y -> ( y e. R. -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
127	117, 126	pm2.61d 170	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. A /\ v e. P. ) /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> ( y e. R. -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
128	127	ralrimiv 2965	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. A /\ v e. P. ) /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> A. y e. R. ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) )
129	128	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ v e. P. ) -> ( A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) -> A. y e. R. ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
130	129	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) -> ( A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) -> A. y e. R. ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
131	90, 130	anim12d 586	. . . 4 |- ( ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) -> ( ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> ( A. y e. A -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y /\ A. y e. R. ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
132		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( x = ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( x <R y <-> ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
133	132	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( x = ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( -. x <R y <-> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
134	133	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( x = ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( A. y e. A -. x <R y <-> A. y e. A -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
135		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( x = ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( y <R x <-> y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
136	135	imbi1d 331	. . . . . . 7 |- ( x = ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) <-> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
137	136	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( x = ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) <-> A. y e. R. ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
138	134, 137	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( x = ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) <-> ( A. y e. A -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y /\ A. y e. R. ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
139	138	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) e. R. /\ ( A. y e. A -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y /\ A. y e. R. ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) )
140	63, 131, 139	syl6an 568	. . 3 |- ( ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) -> ( ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
141	140	rexlimdva 3031	. 2 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> ( E. v e. P. ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
142	58, 141	mpd 15	1 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   (/)c0 3915   <.cop 4183   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   [cec 7740   P.cnp 9681   1Pc1p 9682   <P cltp 9685   ~R cer 9686   R.cnr 9687   0Rc0r 9688   1Rc1r 9689   -1Rcm1r 9690   +R cplr 9691   <R cltr 9693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-ni 9694  df-pli 9695  df-mi 9696  df-lti 9697  df-plpq 9730  df-mpq 9731  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-erq 9735  df-plq 9736  df-mq 9737  df-1nq 9738  df-rq 9739  df-ltnq 9740  df-np 9803  df-1p 9804  df-plp 9805  df-mp 9806  df-ltp 9807  df-enr 9877  df-nr 9878  df-plr 9879  df-mr 9880  df-ltr 9881  df-0r 9882  df-1r 9883  df-m1r 9884

This theorem is referenced by:  supsr  9933