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Theorem swrdsbslen 13448
Description: Two subwords with the same bounds have the same length. (Contributed by AV, 4-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrdsbslen |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) -> ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( # ` ( U substr <. M , N >. ) ) )
Proof of Theorem swrdsbslen
StepHypRef Expression
1 simpr1 1067 . . . 4 |- ( ( N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) ) -> ( W e. Word V /\ U e. Word V ) )
2 simpr2 1068 . . . 4 |- ( ( N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
3 simpl 473 . . . 4 |- ( ( N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) ) -> N <_ M )
4 swrdsb0eq 13447 . . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ M ) -> ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1326 . . 3 |- ( ( N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) ) -> ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) )
65fveq2d 6195 . 2 |- ( ( N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) ) -> ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( # ` ( U substr <. M , N >. ) ) )
7 nn0re 11301 . . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
8 nn0re 11301 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
9 ltnle 10117 . . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M < N <-> -. N <_ M ) )
10 ltle 10126 . . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M < N -> M <_ N ) )
119, 10sylbird 250 . . . . . 6 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( -. N <_ M -> M <_ N ) )
127, 8, 11syl2an 494 . . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( -. N <_ M -> M <_ N ) )
13123ad2ant2 1083 . . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) -> ( -. N <_ M -> M <_ N ) )
14 simpl1l 1112 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> W e. Word V )
15 simpl2l 1114 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> M e. NN0 )
16 nn0z 11400 . . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
17 nn0z 11400 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
1816, 17anim12i 590 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
19183ad2ant2 1083 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
2019anim1i 592 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) )
21 df-3an 1039 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) )
2220, 21sylibr 224 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
23 eluz2 11693 . . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
2422, 23sylibr 224 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
25 simpl3l 1116 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> N <_ ( # ` W ) )
26 swrdlen2 13445 . . . . . . 7 |- ( ( W e. Word V /\ ( M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ N <_ ( # ` W ) ) -> ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( N - M ) )
2714, 15, 24, 25, 26syl121anc 1331 . . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( N - M ) )
28 simpl1r 1113 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> U e. Word V )
29 simpl3r 1117 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> N <_ ( # ` U ) )
30 swrdlen2 13445 . . . . . . 7 |- ( ( U e. Word V /\ ( M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ N <_ ( # ` U ) ) -> ( # ` ( U substr <. M , N >. ) ) = ( N - M ) )
3128, 15, 24, 29, 30syl121anc 1331 . . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( # ` ( U substr <. M , N >. ) ) = ( N - M ) )
3227, 31eqtr4d 2659 . . . . 5 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( # ` ( U substr <. M , N >. ) ) )
3332ex 450 . . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) -> ( M <_ N -> ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( # ` ( U substr <. M , N >. ) ) ) )
3413, 33syld 47 . . 3 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) -> ( -. N <_ M -> ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( # ` ( U substr <. M , N >. ) ) ) )
3534impcom 446 . 2 |- ( ( -. N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) ) -> ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( # ` ( U substr <. M , N >. ) ) )
366, 35pm2.61ian 831 1 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) -> ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( # ` ( U substr <. M , N >. ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   #chash 13117  Word cword 13291   substr csubstr 13295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-substr 13303
This theorem is referenced by:  swrdspsleq  13449
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