Theorem swrdspsleq 13449

Description: Two words have a common subword (starting at the same position with the same length) iff they have the same symbols at each position. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Aug-2018.) (Proof shortened by AV, 7-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdspsleq	|- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )

Distinct variable groups:   i, M   i, N   U, i   i, V   i, W

Proof of Theorem swrdspsleq

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1067	. . . 4 |- ( ( N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) ) -> ( W e. Word V /\ U e. Word V ) )
2		simpr2 1068	. . . 4 |- ( ( N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
3		simpl 473	. . . 4 |- ( ( N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) ) -> N <_ M )
4		swrdsb0eq 13447	. . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ M ) -> ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) ) -> ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) )
6		ral0 4076	. . . . . . 7 |- A. i e. (/) ( W ` i ) = ( U ` i )
7		nn0z 11400	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
8		nn0z 11400	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
9		fzon 12489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N <_ M <-> ( M..^ N ) = (/) ) )
10	7, 8, 9	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N <_ M <-> ( M..^ N ) = (/) ) )
11	10	biimpa 501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ M ) -> ( M..^ N ) = (/) )
12	11	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ M ) -> ( A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) <-> A. i e. (/) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
13	6, 12	mpbiri 248	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ M ) -> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) )
14	13	ex 450	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N <_ M -> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
15	14	3ad2ant2 1083	. . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) -> ( N <_ M -> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
16	15	impcom 446	. . 3 |- ( ( N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) ) -> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) )
17	5, 16	2thd 255	. 2 |- ( ( N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
18		swrdcl 13419	. . . . . 6 |- ( W e. Word V -> ( W substr <. M , N >. ) e. Word V )
19		swrdcl 13419	. . . . . 6 |- ( U e. Word V -> ( U substr <. M , N >. ) e. Word V )
20		eqwrd 13346	. . . . . 6 |- ( ( ( W substr <. M , N >. ) e. Word V /\ ( U substr <. M , N >. ) e. Word V ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> ( ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( # ` ( U substr <. M , N >. ) ) /\ A. j e. ( 0..^ ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) ) )
21	18, 19, 20	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> ( ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( # ` ( U substr <. M , N >. ) ) /\ A. j e. ( 0..^ ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) ) )
22	21	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> ( ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( # ` ( U substr <. M , N >. ) ) /\ A. j e. ( 0..^ ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) ) )
23	22	adantl 482	. . 3 |- ( ( -. N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> ( ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( # ` ( U substr <. M , N >. ) ) /\ A. j e. ( 0..^ ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) ) )
24		swrdsbslen 13448	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) -> ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( # ` ( U substr <. M , N >. ) ) )
25	24	adantl 482	. . . 4 |- ( ( -. N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) ) -> ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( # ` ( U substr <. M , N >. ) ) )
26	25	biantrurd 529	. . 3 |- ( ( -. N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) ) -> ( A. j e. ( 0..^ ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> ( ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( # ` ( U substr <. M , N >. ) ) /\ A. j e. ( 0..^ ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) ) )
27		nn0re 11301	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
28		nn0re 11301	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
29		ltnle 10117	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M < N <-> -. N <_ M ) )
30		ltle 10126	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M < N -> M <_ N ) )
31	29, 30	sylbird 250	. . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( -. N <_ M -> M <_ N ) )
32	27, 28, 31	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( -. N <_ M -> M <_ N ) )
33	32	3ad2ant2 1083	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) -> ( -. N <_ M -> M <_ N ) )
34		simpl1l 1112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> W e. Word V )
35		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. NN0 )
36	35	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) -> M e. NN0 )
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> M e. NN0 )
38	7, 8	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
39	38	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
40	39	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) )
41		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) )
42	40, 41	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
43		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
44	42, 43	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
45	37, 44	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
46		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) -> N <_ ( # ` W ) )
47	46	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) -> N <_ ( # ` W ) )
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> N <_ ( # ` W ) )
49	34, 45, 48	3jca 1242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( W e. Word V /\ ( M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ N <_ ( # ` W ) ) )
50		swrdlen2 13445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Word V /\ ( M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ N <_ ( # ` W ) ) -> ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( N - M ) )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) = ( N - M ) )
52	51	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( 0..^ ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) = ( 0..^ ( N - M ) ) )
53	52	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( A. j e. ( 0..^ ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. j e. ( 0..^ ( N - M ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) )
54		0zd 11389	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) -> 0 e. ZZ )
55		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N - M ) e. ZZ )
56	8, 7, 55	syl2anr 495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N - M ) e. ZZ )
57	56	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) -> ( N - M ) e. ZZ )
58	7	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. ZZ )
59	58	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) -> M e. ZZ )
60		fzoshftral 12585	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( N - M ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( A. j e. ( 0..^ ( N - M ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) )
61	54, 57, 59, 60	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) -> ( A. j e. ( 0..^ ( N - M ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) )
62	61	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( A. j e. ( 0..^ ( N - M ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) )
63		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
64		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN0 -> M e. CC )
65		addid2 10219	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. CC -> ( 0 + M ) = M )
66	65	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. CC /\ M e. CC ) -> ( 0 + M ) = M )
67		npcan 10290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. CC /\ M e. CC ) -> ( ( N - M ) + M ) = N )
68	66, 67	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. CC /\ M e. CC ) -> ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) = ( M..^ N ) )
69	63, 64, 68	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) = ( M..^ N ) )
70	69	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) -> ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) = ( M..^ N ) )
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) = ( M..^ N ) )
72	71	raleqdv 3144	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( A. i e. ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) )
73		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i - M ) e. _V
74		sbceqg 3984	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i - M ) e. _V -> ( [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> [_ ( i - M ) / j ]_ ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = [_ ( i - M ) / j ]_ ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) ) )
75		csbfv2g 6232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i - M ) e. _V -> [_ ( i - M ) / j ]_ ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( W substr <. M , N >. ) ` [_ ( i - M ) / j ]_ j ) )
76		csbvarg 4003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i - M ) e. _V -> [_ ( i - M ) / j ]_ j = ( i - M ) )
77	76	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i - M ) e. _V -> ( ( W substr <. M , N >. ) ` [_ ( i - M ) / j ]_ j ) = ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) )
78	75, 77	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i - M ) e. _V -> [_ ( i - M ) / j ]_ ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) )
79		csbfv2g 6232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i - M ) e. _V -> [_ ( i - M ) / j ]_ ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` [_ ( i - M ) / j ]_ j ) )
80	76	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i - M ) e. _V -> ( ( U substr <. M , N >. ) ` [_ ( i - M ) / j ]_ j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) )
81	79, 80	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i - M ) e. _V -> [_ ( i - M ) / j ]_ ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) )
82	78, 81	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i - M ) e. _V -> ( [_ ( i - M ) / j ]_ ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = [_ ( i - M ) / j ]_ ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) ) )
83	74, 82	bitrd 268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i - M ) e. _V -> ( [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) ) )
84	73, 83	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) ) )
85		swrdfv2 13446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. Word V /\ ( M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ N <_ ( # ` W ) ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( W ` i ) )
86	49, 85	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( W ` i ) )
87		simpl1r 1113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> U e. Word V )
88		simpl3r 1117	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> N <_ ( # ` U ) )
89	87, 45, 88	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( U e. Word V /\ ( M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ N <_ ( # ` U ) ) )
90		swrdfv2 13446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( U e. Word V /\ ( M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ N <_ ( # ` U ) ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( U ` i ) )
91	89, 90	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( U ` i ) )
92	86, 91	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( W substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` ( i - M ) ) <-> ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
93	84, 92	bitrd 268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) /\ i e. ( M..^ N ) ) -> ( [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
94	93	ralbidva 2985	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( A. i e. ( M..^ N ) [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
95	72, 94	bitrd 268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( A. i e. ( ( 0 + M )..^ ( ( N - M ) + M ) ) [. ( i - M ) / j ]. ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
96	62, 95	bitrd 268	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( A. j e. ( 0..^ ( N - M ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
97	53, 96	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) /\ M <_ N ) -> ( A. j e. ( 0..^ ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
98	97	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) -> ( M <_ N -> ( A. j e. ( 0..^ ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) ) )
99	33, 98	syld 47	. . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) -> ( -. N <_ M -> ( A. j e. ( 0..^ ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) ) )
100	99	impcom 446	. . 3 |- ( ( -. N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) ) -> ( A. j e. ( 0..^ ( # ` ( W substr <. M , N >. ) ) ) ( ( W substr <. M , N >. ) ` j ) = ( ( U substr <. M , N >. ) ` j ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
101	23, 26, 100	3bitr2d 296	. 2 |- ( ( -. N <_ M /\ ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )
102	17, 101	pm2.61ian 831	1 |- ( ( ( W e. Word V /\ U e. Word V ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` W ) /\ N <_ ( # ` U ) ) ) -> ( ( W substr <. M , N >. ) = ( U substr <. M , N >. ) <-> A. i e. ( M..^ N ) ( W ` i ) = ( U ` i ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   [_csb 3533   (/)c0 3915   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   substr csubstr 13295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-substr 13303

This theorem is referenced by:  2swrdeqwrdeq  13453  clwwlksf1  26917  pfxsuffeqwrdeq  41406