Theorem symgextf1lem 17840

Description: Lemma for symgextf1 17841. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgext.s	|- S = ( Base ` ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) )
symgext.e	|- E = ( x e. N |-> if ( x = K , K , ( Z ` x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
symgextf1lem	|- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( X e. ( N \ { K } ) /\ Y e. { K } ) -> ( E ` X ) =/= ( E ` Y ) ) )

Distinct variable groups:   x, K   x, N   x, S   x, Z   x, X   x, Y

Allowed substitution hint:   E( x)

Proof of Theorem symgextf1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) = ( SymGrp ` ( N \ { K } ) )
2		symgext.s	. . . . . . 7 |- S = ( Base ` ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) )
3	1, 2	symgfv 17807	. . . . . 6 |- ( ( Z e. S /\ X e. ( N \ { K } ) ) -> ( Z ` X ) e. ( N \ { K } ) )
4	3	adantll 750	. . . . 5 |- ( ( ( K e. N /\ Z e. S ) /\ X e. ( N \ { K } ) ) -> ( Z ` X ) e. ( N \ { K } ) )
5		eldifsni 4320	. . . . . 6 |- ( ( Z ` X ) e. ( N \ { K } ) -> ( Z ` X ) =/= K )
6		symgext.e	. . . . . . . . 9 |- E = ( x e. N |-> if ( x = K , K , ( Z ` x ) ) )
7	2, 6	symgextfv 17838	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( X e. ( N \ { K } ) -> ( E ` X ) = ( Z ` X ) ) )
8	7	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. N /\ Z e. S ) /\ X e. ( N \ { K } ) ) -> ( E ` X ) = ( Z ` X ) )
9	8	neeq1d 2853	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. N /\ Z e. S ) /\ X e. ( N \ { K } ) ) -> ( ( E ` X ) =/= K <-> ( Z ` X ) =/= K ) )
10	5, 9	syl5ibr 236	. . . . 5 |- ( ( ( K e. N /\ Z e. S ) /\ X e. ( N \ { K } ) ) -> ( ( Z ` X ) e. ( N \ { K } ) -> ( E ` X ) =/= K ) )
11	4, 10	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( K e. N /\ Z e. S ) /\ X e. ( N \ { K } ) ) -> ( E ` X ) =/= K )
12	11	adantrr 753	. . 3 |- ( ( ( K e. N /\ Z e. S ) /\ ( X e. ( N \ { K } ) /\ Y e. { K } ) ) -> ( E ` X ) =/= K )
13		elsni 4194	. . . . . 6 |- ( Y e. { K } -> Y = K )
14	2, 6	symgextfve 17839	. . . . . . 7 |- ( K e. N -> ( Y = K -> ( E ` Y ) = K ) )
15	14	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( Y = K -> ( E ` Y ) = K ) )
16	13, 15	syl5com 31	. . . . 5 |- ( Y e. { K } -> ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( E ` Y ) = K ) )
17	16	adantl 482	. . . 4 |- ( ( X e. ( N \ { K } ) /\ Y e. { K } ) -> ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( E ` Y ) = K ) )
18	17	impcom 446	. . 3 |- ( ( ( K e. N /\ Z e. S ) /\ ( X e. ( N \ { K } ) /\ Y e. { K } ) ) -> ( E ` Y ) = K )
19	12, 18	neeqtrrd 2868	. 2 |- ( ( ( K e. N /\ Z e. S ) /\ ( X e. ( N \ { K } ) /\ Y e. { K } ) ) -> ( E ` X ) =/= ( E ` Y ) )
20	19	ex 450	1 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( X e. ( N \ { K } ) /\ Y e. { K } ) -> ( E ` X ) =/= ( E ` Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   ifcif 4086   {csn 4177   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888   Basecbs 15857   SymGrpcsymg 17797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-symg 17798

This theorem is referenced by:  symgextf1  17841