Theorem symgextf1 17841

Description: The extension of a permutation, fixing the additional element, is a 1-1 function. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgext.s	|- S = ( Base ` ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) )
symgext.e	|- E = ( x e. N |-> if ( x = K , K , ( Z ` x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
symgextf1	|- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> E : N -1-1-> N )

Distinct variable groups:   x, K   x, N   x, S   x, Z

Allowed substitution hint:   E( x)

Proof of Theorem symgextf1

Dummy variables y z i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgext.s	. . 3 |- S = ( Base ` ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) )
2		symgext.e	. . 3 |- E = ( x e. N |-> if ( x = K , K , ( Z ` x ) ) )
3	1, 2	symgextf 17837	. 2 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> E : N --> N )
4		difsnid 4341	. . . . . . . 8 |- ( K e. N -> ( ( N \ { K } ) u. { K } ) = N )
5	4	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( K e. N -> N = ( ( N \ { K } ) u. { K } ) )
6	5	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( K e. N -> ( y e. N <-> y e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) ) )
7	5	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( K e. N -> ( z e. N <-> z e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) ) )
8	6, 7	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( K e. N -> ( ( y e. N /\ z e. N ) <-> ( y e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) /\ z e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) ) ) )
9	8	adantr 481	. . . 4 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( y e. N /\ z e. N ) <-> ( y e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) /\ z e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) ) ) )
10		elun 3753	. . . . . 6 |- ( y e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) <-> ( y e. ( N \ { K } ) \/ y e. { K } ) )
11		elun 3753	. . . . . 6 |- ( z e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) <-> ( z e. ( N \ { K } ) \/ z e. { K } ) )
12	1, 2	symgextfv 17838	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( y e. ( N \ { K } ) -> ( E ` y ) = ( Z ` y ) ) )
13	12	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( N \ { K } ) -> ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( E ` y ) = ( Z ` y ) ) )
14	13	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) -> ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( E ` y ) = ( Z ` y ) ) )
15	14	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) /\ ( K e. N /\ Z e. S ) ) -> ( E ` y ) = ( Z ` y ) )
16	1, 2	symgextfv 17838	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( z e. ( N \ { K } ) -> ( E ` z ) = ( Z ` z ) ) )
17	16	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( N \ { K } ) -> ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( E ` z ) = ( Z ` z ) ) )
18	17	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) -> ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( E ` z ) = ( Z ` z ) ) )
19	18	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) /\ ( K e. N /\ Z e. S ) ) -> ( E ` z ) = ( Z ` z ) )
20	15, 19	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) /\ ( K e. N /\ Z e. S ) ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` z ) <-> ( Z ` y ) = ( Z ` z ) ) )
21		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) = ( SymGrp ` ( N \ { K } ) )
22	21, 1	symgbasf1o 17803	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Z e. S -> Z : ( N \ { K } ) -1-1-onto-> ( N \ { K } ) )
23		f1of1 6136	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Z : ( N \ { K } ) -1-1-onto-> ( N \ { K } ) -> Z : ( N \ { K } ) -1-1-> ( N \ { K } ) )
24		dff13 6512	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Z : ( N \ { K } ) -1-1-> ( N \ { K } ) <-> ( Z : ( N \ { K } ) --> ( N \ { K } ) /\ A. i e. ( N \ { K } ) A. j e. ( N \ { K } ) ( ( Z ` i ) = ( Z ` j ) -> i = j ) ) )
25		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = y -> ( Z ` i ) = ( Z ` y ) )
26	25	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = y -> ( ( Z ` i ) = ( Z ` j ) <-> ( Z ` y ) = ( Z ` j ) ) )
27		equequ1 1952	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = y -> ( i = j <-> y = j ) )
28	26, 27	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = y -> ( ( ( Z ` i ) = ( Z ` j ) -> i = j ) <-> ( ( Z ` y ) = ( Z ` j ) -> y = j ) ) )
29		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = z -> ( Z ` j ) = ( Z ` z ) )
30	29	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = z -> ( ( Z ` y ) = ( Z ` j ) <-> ( Z ` y ) = ( Z ` z ) ) )
31		equequ2 1953	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = z -> ( y = j <-> y = z ) )
32	30, 31	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = z -> ( ( ( Z ` y ) = ( Z ` j ) -> y = j ) <-> ( ( Z ` y ) = ( Z ` z ) -> y = z ) ) )
33	28, 32	rspc2va 3323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) /\ A. i e. ( N \ { K } ) A. j e. ( N \ { K } ) ( ( Z ` i ) = ( Z ` j ) -> i = j ) ) -> ( ( Z ` y ) = ( Z ` z ) -> y = z ) )
34	33	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. i e. ( N \ { K } ) A. j e. ( N \ { K } ) ( ( Z ` i ) = ( Z ` j ) -> i = j ) -> ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) -> ( ( Z ` y ) = ( Z ` z ) -> y = z ) ) )
35	34	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. i e. ( N \ { K } ) A. j e. ( N \ { K } ) ( ( Z ` i ) = ( Z ` j ) -> i = j ) -> ( K e. N -> ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) -> ( ( Z ` y ) = ( Z ` z ) -> y = z ) ) ) )
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Z : ( N \ { K } ) --> ( N \ { K } ) /\ A. i e. ( N \ { K } ) A. j e. ( N \ { K } ) ( ( Z ` i ) = ( Z ` j ) -> i = j ) ) -> ( K e. N -> ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) -> ( ( Z ` y ) = ( Z ` z ) -> y = z ) ) ) )
37	24, 36	sylbi 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Z : ( N \ { K } ) -1-1-> ( N \ { K } ) -> ( K e. N -> ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) -> ( ( Z ` y ) = ( Z ` z ) -> y = z ) ) ) )
38	22, 23, 37	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( Z e. S -> ( K e. N -> ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) -> ( ( Z ` y ) = ( Z ` z ) -> y = z ) ) ) )
39	38	impcom 446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) -> ( ( Z ` y ) = ( Z ` z ) -> y = z ) ) )
40	39	impcom 446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) /\ ( K e. N /\ Z e. S ) ) -> ( ( Z ` y ) = ( Z ` z ) -> y = z ) )
41	20, 40	sylbid 230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) /\ ( K e. N /\ Z e. S ) ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) )
42	41	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. ( N \ { K } ) ) -> ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) ) )
43	1, 2	symgextf1lem 17840	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( z e. ( N \ { K } ) /\ y e. { K } ) -> ( E ` z ) =/= ( E ` y ) ) )
44		eqneqall 2805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E ` z ) = ( E ` y ) -> ( ( E ` z ) =/= ( E ` y ) -> y = z ) )
45	44	eqcoms 2630	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> ( ( E ` z ) =/= ( E ` y ) -> y = z ) )
46	45	com12 32	. . . . . . . . 9 |- ( ( E ` z ) =/= ( E ` y ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) )
47	43, 46	syl6com 37	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ( N \ { K } ) /\ y e. { K } ) -> ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) ) )
48	47	ancoms 469	. . . . . . 7 |- ( ( y e. { K } /\ z e. ( N \ { K } ) ) -> ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) ) )
49	1, 2	symgextf1lem 17840	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. { K } ) -> ( E ` y ) =/= ( E ` z ) ) )
50		eqneqall 2805	. . . . . . . . 9 |- ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> ( ( E ` y ) =/= ( E ` z ) -> y = z ) )
51	50	com12 32	. . . . . . . 8 |- ( ( E ` y ) =/= ( E ` z ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) )
52	49, 51	syl6com 37	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ( N \ { K } ) /\ z e. { K } ) -> ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) ) )
53		elsni 4194	. . . . . . . 8 |- ( y e. { K } -> y = K )
54		elsni 4194	. . . . . . . 8 |- ( z e. { K } -> z = K )
55		eqtr3 2643	. . . . . . . . 9 |- ( ( y = K /\ z = K ) -> y = z )
56	55	2a1d 26	. . . . . . . 8 |- ( ( y = K /\ z = K ) -> ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) ) )
57	53, 54, 56	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( y e. { K } /\ z e. { K } ) -> ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) ) )
58	42, 48, 52, 57	ccase 987	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. ( N \ { K } ) \/ y e. { K } ) /\ ( z e. ( N \ { K } ) \/ z e. { K } ) ) -> ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) ) )
59	10, 11, 58	syl2anb 496	. . . . 5 |- ( ( y e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) /\ z e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) ) -> ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) ) )
60	59	com12 32	. . . 4 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( y e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) /\ z e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) ) )
61	9, 60	sylbid 230	. . 3 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> ( ( y e. N /\ z e. N ) -> ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) ) )
62	61	ralrimivv 2970	. 2 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> A. y e. N A. z e. N ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) )
63		dff13 6512	. 2 |- ( E : N -1-1-> N <-> ( E : N --> N /\ A. y e. N A. z e. N ( ( E ` y ) = ( E ` z ) -> y = z ) ) )
64	3, 62, 63	sylanbrc 698	1 |- ( ( K e. N /\ Z e. S ) -> E : N -1-1-> N )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   u. cun 3572   ifcif 4086   {csn 4177   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Basecbs 15857   SymGrpcsymg 17797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-symg 17798

This theorem is referenced by:  symgextf1o  17843