Theorem symgfixf1 17857

Description: The mapping of a permutation of a set fixing an element to a permutation of the set without the fixed element is a 1-1 function. (Contributed by AV, 4-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgfixf.p	|- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
symgfixf.q	|- Q = { q e. P | ( q ` K ) = K }
symgfixf.s	|- S = ( Base ` ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) )
symgfixf.h	|- H = ( q e. Q |-> ( q |` ( N \ { K } ) ) )

Assertion

Ref	Expression
symgfixf1	|- ( K e. N -> H : Q -1-1-> S )

Distinct variable groups:   K, q   P, q   N, q   Q, q   S, q

Allowed substitution hint:   H( q)

Proof of Theorem symgfixf1

Dummy variables g p i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgfixf.p	. . 3 |- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
2		symgfixf.q	. . 3 |- Q = { q e. P | ( q ` K ) = K }
3		symgfixf.s	. . 3 |- S = ( Base ` ( SymGrp ` ( N \ { K } ) ) )
4		symgfixf.h	. . 3 |- H = ( q e. Q |-> ( q |` ( N \ { K } ) ) )
5	1, 2, 3, 4	symgfixf 17856	. 2 |- ( K e. N -> H : Q --> S )
6	4	fvtresfn 6284	. . . . . 6 |- ( g e. Q -> ( H ` g ) = ( g |` ( N \ { K } ) ) )
7	4	fvtresfn 6284	. . . . . 6 |- ( p e. Q -> ( H ` p ) = ( p |` ( N \ { K } ) ) )
8	6, 7	eqeqan12d 2638	. . . . 5 |- ( ( g e. Q /\ p e. Q ) -> ( ( H ` g ) = ( H ` p ) <-> ( g |` ( N \ { K } ) ) = ( p |` ( N \ { K } ) ) ) )
9	8	adantl 482	. . . 4 |- ( ( K e. N /\ ( g e. Q /\ p e. Q ) ) -> ( ( H ` g ) = ( H ` p ) <-> ( g |` ( N \ { K } ) ) = ( p |` ( N \ { K } ) ) ) )
10		vex 3203	. . . . . . 7 |- g e. _V
11	1, 2	symgfixelq 17853	. . . . . . 7 |- ( g e. _V -> ( g e. Q <-> ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( g e. Q <-> ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) )
13		vex 3203	. . . . . . 7 |- p e. _V
14	1, 2	symgfixelq 17853	. . . . . . 7 |- ( p e. _V -> ( p e. Q <-> ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) ) )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( p e. Q <-> ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) )
16	12, 15	anbi12i 733	. . . . 5 |- ( ( g e. Q /\ p e. Q ) <-> ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) /\ ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) ) )
17		f1ofn 6138	. . . . . . . . . . 11 |- ( g : N -1-1-onto-> N -> g Fn N )
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) -> g Fn N )
19		f1ofn 6138	. . . . . . . . . . 11 |- ( p : N -1-1-onto-> N -> p Fn N )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) -> p Fn N )
21	18, 20	anim12i 590	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) /\ ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) ) -> ( g Fn N /\ p Fn N ) )
22		difss 3737	. . . . . . . . 9 |- ( N \ { K } ) C_ N
23	21, 22	jctir 561	. . . . . . . 8 |- ( ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) /\ ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) ) -> ( ( g Fn N /\ p Fn N ) /\ ( N \ { K } ) C_ N ) )
24	23	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( K e. N /\ ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) /\ ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) ) ) -> ( ( g Fn N /\ p Fn N ) /\ ( N \ { K } ) C_ N ) )
25		fvreseq 6319	. . . . . . 7 |- ( ( ( g Fn N /\ p Fn N ) /\ ( N \ { K } ) C_ N ) -> ( ( g |` ( N \ { K } ) ) = ( p |` ( N \ { K } ) ) <-> A. i e. ( N \ { K } ) ( g ` i ) = ( p ` i ) ) )
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( K e. N /\ ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) /\ ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) ) ) -> ( ( g |` ( N \ { K } ) ) = ( p |` ( N \ { K } ) ) <-> A. i e. ( N \ { K } ) ( g ` i ) = ( p ` i ) ) )
27		f1of 6137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g : N -1-1-onto-> N -> g : N --> N )
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) -> g : N --> N )
29		f1of 6137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p : N -1-1-onto-> N -> p : N --> N )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) -> p : N --> N )
31		fdm 6051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g : N --> N -> dom g = N )
32		fdm 6051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p : N --> N -> dom p = N )
33	31, 32	anim12i 590	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g : N --> N /\ p : N --> N ) -> ( dom g = N /\ dom p = N ) )
34	28, 30, 33	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) /\ ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) ) -> ( dom g = N /\ dom p = N ) )
35		eqtr3 2643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( dom g = N /\ dom p = N ) -> dom g = dom p )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) /\ ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) ) -> dom g = dom p )
37	36	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. N /\ ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) /\ ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) ) ) /\ A. i e. ( N \ { K } ) ( g ` i ) = ( p ` i ) ) -> dom g = dom p )
38		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. N /\ ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) /\ ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) ) ) /\ A. i e. ( N \ { K } ) ( g ` i ) = ( p ` i ) ) -> A. i e. ( N \ { K } ) ( g ` i ) = ( p ` i ) )
39		eqtr3 2643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g ` K ) = K /\ ( p ` K ) = K ) -> ( g ` K ) = ( p ` K ) )
40	39	ad2ant2l 782	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) /\ ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) ) -> ( g ` K ) = ( p ` K ) )
41	40	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. N /\ ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) /\ ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) ) ) /\ A. i e. ( N \ { K } ) ( g ` i ) = ( p ` i ) ) -> ( g ` K ) = ( p ` K ) )
42		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = K -> ( g ` i ) = ( g ` K ) )
43		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = K -> ( p ` i ) = ( p ` K ) )
44	42, 43	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = K -> ( ( g ` i ) = ( p ` i ) <-> ( g ` K ) = ( p ` K ) ) )
45	44	ralunsn 4422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. N -> ( A. i e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) ( g ` i ) = ( p ` i ) <-> ( A. i e. ( N \ { K } ) ( g ` i ) = ( p ` i ) /\ ( g ` K ) = ( p ` K ) ) ) )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. N /\ ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) /\ ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) ) ) -> ( A. i e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) ( g ` i ) = ( p ` i ) <-> ( A. i e. ( N \ { K } ) ( g ` i ) = ( p ` i ) /\ ( g ` K ) = ( p ` K ) ) ) )
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. N /\ ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) /\ ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) ) ) /\ A. i e. ( N \ { K } ) ( g ` i ) = ( p ` i ) ) -> ( A. i e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) ( g ` i ) = ( p ` i ) <-> ( A. i e. ( N \ { K } ) ( g ` i ) = ( p ` i ) /\ ( g ` K ) = ( p ` K ) ) ) )
48	38, 41, 47	mpbir2and 957	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. N /\ ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) /\ ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) ) ) /\ A. i e. ( N \ { K } ) ( g ` i ) = ( p ` i ) ) -> A. i e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) ( g ` i ) = ( p ` i ) )
49		f1odm 6141	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g : N -1-1-onto-> N -> dom g = N )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) -> dom g = N )
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) /\ ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) ) -> dom g = N )
52		difsnid 4341	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. N -> ( ( N \ { K } ) u. { K } ) = N )
53	52	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. N -> N = ( ( N \ { K } ) u. { K } ) )
54	51, 53	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. N /\ ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) /\ ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) ) ) -> dom g = ( ( N \ { K } ) u. { K } ) )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. N /\ ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) /\ ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) ) ) /\ A. i e. ( N \ { K } ) ( g ` i ) = ( p ` i ) ) -> dom g = ( ( N \ { K } ) u. { K } ) )
56	55	raleqdv 3144	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. N /\ ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) /\ ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) ) ) /\ A. i e. ( N \ { K } ) ( g ` i ) = ( p ` i ) ) -> ( A. i e. dom g ( g ` i ) = ( p ` i ) <-> A. i e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) ( g ` i ) = ( p ` i ) ) )
57	48, 56	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. N /\ ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) /\ ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) ) ) /\ A. i e. ( N \ { K } ) ( g ` i ) = ( p ` i ) ) -> A. i e. dom g ( g ` i ) = ( p ` i ) )
58		f1ofun 6139	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g : N -1-1-onto-> N -> Fun g )
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) -> Fun g )
60		f1ofun 6139	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p : N -1-1-onto-> N -> Fun p )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) -> Fun p )
62	59, 61	anim12i 590	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) /\ ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) ) -> ( Fun g /\ Fun p ) )
63	62	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. N /\ ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) /\ ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) ) ) /\ A. i e. ( N \ { K } ) ( g ` i ) = ( p ` i ) ) -> ( Fun g /\ Fun p ) )
64		eqfunfv 6316	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun g /\ Fun p ) -> ( g = p <-> ( dom g = dom p /\ A. i e. dom g ( g ` i ) = ( p ` i ) ) ) )
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. N /\ ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) /\ ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) ) ) /\ A. i e. ( N \ { K } ) ( g ` i ) = ( p ` i ) ) -> ( g = p <-> ( dom g = dom p /\ A. i e. dom g ( g ` i ) = ( p ` i ) ) ) )
66	37, 57, 65	mpbir2and 957	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. N /\ ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) /\ ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) ) ) /\ A. i e. ( N \ { K } ) ( g ` i ) = ( p ` i ) ) -> g = p )
67	66	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( K e. N /\ ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) /\ ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) ) ) -> ( A. i e. ( N \ { K } ) ( g ` i ) = ( p ` i ) -> g = p ) )
68	26, 67	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( K e. N /\ ( ( g : N -1-1-onto-> N /\ ( g ` K ) = K ) /\ ( p : N -1-1-onto-> N /\ ( p ` K ) = K ) ) ) -> ( ( g |` ( N \ { K } ) ) = ( p |` ( N \ { K } ) ) -> g = p ) )
69	16, 68	sylan2b 492	. . . 4 |- ( ( K e. N /\ ( g e. Q /\ p e. Q ) ) -> ( ( g |` ( N \ { K } ) ) = ( p |` ( N \ { K } ) ) -> g = p ) )
70	9, 69	sylbid 230	. . 3 |- ( ( K e. N /\ ( g e. Q /\ p e. Q ) ) -> ( ( H ` g ) = ( H ` p ) -> g = p ) )
71	70	ralrimivva 2971	. 2 |- ( K e. N -> A. g e. Q A. p e. Q ( ( H ` g ) = ( H ` p ) -> g = p ) )
72		dff13 6512	. 2 |- ( H : Q -1-1-> S <-> ( H : Q --> S /\ A. g e. Q A. p e. Q ( ( H ` g ) = ( H ` p ) -> g = p ) ) )
73	5, 71, 72	sylanbrc 698	1 |- ( K e. N -> H : Q -1-1-> S )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   |` cres 5116   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Basecbs 15857   SymGrpcsymg 17797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-symg 17798

This theorem is referenced by:  symgfixf1o  17860