Theorem 2ndcomap 21261

Description: A surjective continuous open map maps second-countable spaces to second-countable spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2ndcomap.2	|- Y = U. K
2ndcomap.3	|- ( ph -> J e. 2ndc )
2ndcomap.5	|- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
2ndcomap.6	|- ( ph -> ran F = Y )
2ndcomap.7	|- ( ( ph /\ x e. J ) -> ( F " x ) e. K )

Assertion

Ref	Expression
2ndcomap	|- ( ph -> K e. 2ndc )

Distinct variable groups:   x, F   x, J   ph, x   x, K

Allowed substitution hint:   Y( x)

Proof of Theorem 2ndcomap

Dummy variables k m t w z b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ndcomap.5	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
2		cntop2 21045	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> K e. Top )
4	3	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) -> K e. Top )
5		simplll 798	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ x e. b ) -> ph )
6		bastg 20770	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. TopBases -> b C_ ( topGen ` b ) )
7	6	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) -> b C_ ( topGen ` b ) )
8		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) -> ( topGen ` b ) = J )
9	7, 8	sseqtrd 3641	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) -> b C_ J )
10	9	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ x e. b ) -> x e. J )
11		2ndcomap.7	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. J ) -> ( F " x ) e. K )
12	5, 10, 11	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ x e. b ) -> ( F " x ) e. K )
13		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. b |-> ( F " x ) ) = ( x e. b |-> ( F " x ) )
14	12, 13	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) -> ( x e. b |-> ( F " x ) ) : b --> K )
15		frn 6053	. . . . 5 |- ( ( x e. b |-> ( F " x ) ) : b --> K -> ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) C_ K )
16	14, 15	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) -> ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) C_ K )
17		elunii 4441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. k /\ k e. K ) -> z e. U. K )
18		2ndcomap.2	. . . . . . . . . . 11 |- Y = U. K
19	17, 18	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. k /\ k e. K ) -> z e. Y )
20	19	ancoms 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. K /\ z e. k ) -> z e. Y )
21	20	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( k e. K /\ z e. k ) ) -> z e. Y )
22		2ndcomap.6	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran F = Y )
23	22	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( k e. K /\ z e. k ) ) -> ran F = Y )
24	21, 23	eleqtrrd 2704	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( k e. K /\ z e. k ) ) -> z e. ran F )
25		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- U. J = U. J
26	25, 18	cnf 21050	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> Y )
27	1, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : U. J --> Y )
28	27	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( k e. K /\ z e. k ) ) -> F : U. J --> Y )
29		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( F : U. J --> Y -> F Fn U. J )
30		fvelrnb 6243	. . . . . . . 8 |- ( F Fn U. J -> ( z e. ran F <-> E. t e. U. J ( F ` t ) = z ) )
31	28, 29, 30	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( k e. K /\ z e. k ) ) -> ( z e. ran F <-> E. t e. U. J ( F ` t ) = z ) )
32	24, 31	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( k e. K /\ z e. k ) ) -> E. t e. U. J ( F ` t ) = z )
33	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
34		simprll 802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) -> k e. K )
35		cnima 21069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ k e. K ) -> ( `' F " k ) e. J )
36	33, 34, 35	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) -> ( `' F " k ) e. J )
37	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) -> ( topGen ` b ) = J )
38	36, 37	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) -> ( `' F " k ) e. ( topGen ` b ) )
39		simprrl 804	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) -> t e. U. J )
40		simprrr 805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) -> ( F ` t ) = z )
41		simprlr 803	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) -> z e. k )
42	40, 41	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) -> ( F ` t ) e. k )
43	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( k e. K /\ z e. k ) ) -> F Fn U. J )
44	43	adantrr 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) -> F Fn U. J )
45		elpreima 6337	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn U. J -> ( t e. ( `' F " k ) <-> ( t e. U. J /\ ( F ` t ) e. k ) ) )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) -> ( t e. ( `' F " k ) <-> ( t e. U. J /\ ( F ` t ) e. k ) ) )
47	39, 42, 46	mpbir2and 957	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) -> t e. ( `' F " k ) )
48		tg2 20769	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( `' F " k ) e. ( topGen ` b ) /\ t e. ( `' F " k ) ) -> E. m e. b ( t e. m /\ m C_ ( `' F " k ) ) )
49	38, 47, 48	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) -> E. m e. b ( t e. m /\ m C_ ( `' F " k ) ) )
50		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) /\ ( m e. b /\ ( t e. m /\ m C_ ( `' F " k ) ) ) ) -> m e. b )
51		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( F " m ) = ( F " m )
52		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = m -> ( F " x ) = ( F " m ) )
53	52	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = m -> ( ( F " m ) = ( F " x ) <-> ( F " m ) = ( F " m ) ) )
54	53	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. b /\ ( F " m ) = ( F " m ) ) -> E. x e. b ( F " m ) = ( F " x ) )
55	50, 51, 54	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) /\ ( m e. b /\ ( t e. m /\ m C_ ( `' F " k ) ) ) ) -> E. x e. b ( F " m ) = ( F " x ) )
56	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) /\ ( m e. b /\ ( t e. m /\ m C_ ( `' F " k ) ) ) ) -> F Fn U. J )
57		fnfun 5988	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F Fn U. J -> Fun F )
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) /\ ( m e. b /\ ( t e. m /\ m C_ ( `' F " k ) ) ) ) -> Fun F )
59		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) /\ ( m e. b /\ ( t e. m /\ m C_ ( `' F " k ) ) ) ) -> m C_ ( `' F " k ) )
60		funimass2 5972	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ m C_ ( `' F " k ) ) -> ( F " m ) C_ k )
61	58, 59, 60	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) /\ ( m e. b /\ ( t e. m /\ m C_ ( `' F " k ) ) ) ) -> ( F " m ) C_ k )
62		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- k e. _V
63		ssexg 4804	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F " m ) C_ k /\ k e. _V ) -> ( F " m ) e. _V )
64	61, 62, 63	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) /\ ( m e. b /\ ( t e. m /\ m C_ ( `' F " k ) ) ) ) -> ( F " m ) e. _V )
65	13	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F " m ) e. _V -> ( ( F " m ) e. ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) <-> E. x e. b ( F " m ) = ( F " x ) ) )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) /\ ( m e. b /\ ( t e. m /\ m C_ ( `' F " k ) ) ) ) -> ( ( F " m ) e. ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) <-> E. x e. b ( F " m ) = ( F " x ) ) )
67	55, 66	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) /\ ( m e. b /\ ( t e. m /\ m C_ ( `' F " k ) ) ) ) -> ( F " m ) e. ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) )
68	40	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) /\ ( m e. b /\ ( t e. m /\ m C_ ( `' F " k ) ) ) ) -> ( F ` t ) = z )
69		simprrl 804	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) /\ ( m e. b /\ ( t e. m /\ m C_ ( `' F " k ) ) ) ) -> t e. m )
70		cnvimass 5485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' F " k ) C_ dom F
71	59, 70	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) /\ ( m e. b /\ ( t e. m /\ m C_ ( `' F " k ) ) ) ) -> m C_ dom F )
72		funfvima2 6493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ m C_ dom F ) -> ( t e. m -> ( F ` t ) e. ( F " m ) ) )
73	58, 71, 72	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) /\ ( m e. b /\ ( t e. m /\ m C_ ( `' F " k ) ) ) ) -> ( t e. m -> ( F ` t ) e. ( F " m ) ) )
74	69, 73	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) /\ ( m e. b /\ ( t e. m /\ m C_ ( `' F " k ) ) ) ) -> ( F ` t ) e. ( F " m ) )
75	68, 74	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) /\ ( m e. b /\ ( t e. m /\ m C_ ( `' F " k ) ) ) ) -> z e. ( F " m ) )
76		eleq2 2690	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( F " m ) -> ( z e. w <-> z e. ( F " m ) ) )
77		sseq1 3626	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( F " m ) -> ( w C_ k <-> ( F " m ) C_ k ) )
78	76, 77	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( F " m ) -> ( ( z e. w /\ w C_ k ) <-> ( z e. ( F " m ) /\ ( F " m ) C_ k ) ) )
79	78	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F " m ) e. ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) /\ ( z e. ( F " m ) /\ ( F " m ) C_ k ) ) -> E. w e. ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) ( z e. w /\ w C_ k ) )
80	67, 75, 61, 79	syl12anc 1324	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) /\ ( m e. b /\ ( t e. m /\ m C_ ( `' F " k ) ) ) ) -> E. w e. ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) ( z e. w /\ w C_ k ) )
81	49, 80	rexlimddv 3035	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( ( k e. K /\ z e. k ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) ) -> E. w e. ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) ( z e. w /\ w C_ k ) )
82	81	anassrs 680	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( k e. K /\ z e. k ) ) /\ ( t e. U. J /\ ( F ` t ) = z ) ) -> E. w e. ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) ( z e. w /\ w C_ k ) )
83	32, 82	rexlimddv 3035	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) /\ ( k e. K /\ z e. k ) ) -> E. w e. ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) ( z e. w /\ w C_ k ) )
84	83	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) -> A. k e. K A. z e. k E. w e. ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) ( z e. w /\ w C_ k ) )
85		basgen2 20793	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) C_ K /\ A. k e. K A. z e. k E. w e. ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) ( z e. w /\ w C_ k ) ) -> ( topGen ` ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) ) = K )
86	4, 16, 84, 85	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) -> ( topGen ` ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) ) = K )
87	86, 4	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) -> ( topGen ` ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) ) e. Top )
88		tgclb 20774	. . . . 5 |- ( ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) e. TopBases <-> ( topGen ` ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) ) e. Top )
89	87, 88	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) -> ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) e. TopBases )
90		omelon 8543	. . . . . . 7 |- om e. On
91		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) -> b ~<_ om )
92		ondomen 8860	. . . . . . 7 |- ( ( om e. On /\ b ~<_ om ) -> b e. dom card )
93	90, 91, 92	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) -> b e. dom card )
94		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. b |-> ( F " x ) ) : b --> K -> ( x e. b |-> ( F " x ) ) Fn b )
95	14, 94	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) -> ( x e. b |-> ( F " x ) ) Fn b )
96		dffn4 6121	. . . . . . 7 |- ( ( x e. b |-> ( F " x ) ) Fn b <-> ( x e. b |-> ( F " x ) ) : b -onto-> ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) )
97	95, 96	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) -> ( x e. b |-> ( F " x ) ) : b -onto-> ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) )
98		fodomnum 8880	. . . . . 6 |- ( b e. dom card -> ( ( x e. b |-> ( F " x ) ) : b -onto-> ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) -> ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) ~<_ b ) )
99	93, 97, 98	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) -> ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) ~<_ b )
100		domtr 8009	. . . . 5 |- ( ( ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) ~<_ b /\ b ~<_ om ) -> ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) ~<_ om )
101	99, 91, 100	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) -> ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) ~<_ om )
102		2ndci 21251	. . . 4 |- ( ( ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) e. TopBases /\ ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) ~<_ om ) -> ( topGen ` ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) ) e. 2ndc )
103	89, 101, 102	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) -> ( topGen ` ran ( x e. b |-> ( F " x ) ) ) e. 2ndc )
104	86, 103	eqeltrrd 2702	. 2 |- ( ( ( ph /\ b e. TopBases ) /\ ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) -> K e. 2ndc )
105		2ndcomap.3	. . 3 |- ( ph -> J e. 2ndc )
106		is2ndc 21249	. . 3 |- ( J e. 2ndc <-> E. b e. TopBases ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) )
107	105, 106	sylib 208	. 2 |- ( ph -> E. b e. TopBases ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) )
108	104, 107	r19.29a 3078	1 |- ( ph -> K e. 2ndc )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Oncon0 5723   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   cardccrd 8761   topGenctg 16098   Topctop 20698   TopBasesctb 20749   Cn ccn 21028   2ndcc2ndc 21241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-card 8765  df-acn 8768  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-2ndc 21243

This theorem is referenced by: (None)