Theorem met2ndci 22327

Description: A separable metric space (a metric space with a countable dense subset) is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
methaus.1	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
met2ndci	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) -> J e. 2ndc )

Proof of Theorem met2ndci

Dummy variables n r t u w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		methaus.1	. . . . 5 |- J = ( MetOpen ` D )
2	1	mopntop 22245	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )
3	2	adantr 481	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) -> J e. Top )
4		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
5		simplr1 1103	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> A C_ X )
6		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> y e. A )
7	5, 6	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> y e. X )
8		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> x e. NN )
9	8	nnrpd 11870	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> x e. RR+ )
10	9	rpreccld 11882	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( 1 / x ) e. RR+ )
11	10	rpxrd 11873	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( 1 / x ) e. RR* )
12	1	blopn 22305	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ ( 1 / x ) e. RR* ) -> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) e. J )
13	4, 7, 11, 12	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( x e. NN /\ y e. A ) ) -> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) e. J )
14	13	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) -> A. x e. NN A. y e. A ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) e. J )
15		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) = ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) )
16	15	fmpt2 7237	. . . . 5 |- ( A. x e. NN A. y e. A ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) e. J <-> ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) : ( NN X. A ) --> J )
17	14, 16	sylib 208	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) -> ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) : ( NN X. A ) --> J )
18		frn 6053	. . . 4 |- ( ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) : ( NN X. A ) --> J -> ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) C_ J )
19	17, 18	syl 17	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) -> ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) C_ J )
20		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
21		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) -> u e. J )
22		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) -> z e. u )
23	1	mopni2 22298	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ u e. J /\ z e. u ) -> E. r e. RR+ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u )
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) -> E. r e. RR+ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u )
25		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) ) -> r e. RR+ )
26	25	rphalfcld 11884	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) ) -> ( r / 2 ) e. RR+ )
27		elrp 11834	. . . . . . . 8 |- ( ( r / 2 ) e. RR+ <-> ( ( r / 2 ) e. RR /\ 0 < ( r / 2 ) ) )
28		nnrecl 11290	. . . . . . . 8 |- ( ( ( r / 2 ) e. RR /\ 0 < ( r / 2 ) ) -> E. n e. NN ( 1 / n ) < ( r / 2 ) )
29	27, 28	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( ( r / 2 ) e. RR+ -> E. n e. NN ( 1 / n ) < ( r / 2 ) )
30	26, 29	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) ) -> E. n e. NN ( 1 / n ) < ( r / 2 ) )
31	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) -> J e. Top )
32		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) -> A C_ X )
33	32	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) -> A C_ X )
34	1	mopnuni 22246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
35	34	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) -> X = U. J )
36	33, 35	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) -> A C_ U. J )
37		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) -> z e. u )
38		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) -> u e. J )
39		elunii 4441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. u /\ u e. J ) -> z e. U. J )
40	37, 38, 39	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) -> z e. U. J )
41	40, 35	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) -> z e. X )
42		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) = X )
43	42	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) = X )
44	41, 43	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) -> z e. ( ( cls ` J ) ` A ) )
45	20	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
46		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) -> n e. NN )
47	46	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) -> n e. RR+ )
48	47	rpreccld 11882	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR+ )
49	48	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR* )
50	1	blopn 22305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ z e. X /\ ( 1 / n ) e. RR* ) -> ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) e. J )
51	45, 41, 49, 50	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) -> ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) e. J )
52		blcntr 22218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ z e. X /\ ( 1 / n ) e. RR+ ) -> z e. ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) )
53	45, 41, 48, 52	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) -> z e. ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) )
54		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- U. J = U. J
55	54	clsndisj 20879	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ U. J /\ z e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) /\ ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) e. J /\ z e. ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) ) -> ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) =/= (/) )
56	31, 36, 44, 51, 53, 55	syl32anc 1334	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) -> ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) =/= (/) )
57		n0 3931	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) =/= (/) <-> E. t t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) )
58	56, 57	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) -> E. t t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) )
59	46	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) ) -> n e. NN )
60		inss2 3834	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) C_ A
61		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) ) -> t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) )
62	60, 61	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) ) -> t e. A )
63		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) ) -> ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) = ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) )
64		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = n -> ( 1 / x ) = ( 1 / n ) )
65	64	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = n -> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) )
66	65	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = n -> ( ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) <-> ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) )
67		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = t -> ( y ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) = ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) )
68	67	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = t -> ( ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) <-> ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) = ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) )
69	66, 68	rspc2ev 3324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ t e. A /\ ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) = ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) -> E. x e. NN E. y e. A ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) )
70	59, 62, 63, 69	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) ) -> E. x e. NN E. y e. A ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) )
71		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) e. _V
72		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) -> ( z = ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) <-> ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) )
73	72	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) -> ( E. x e. NN E. y e. A z = ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) <-> E. x e. NN E. y e. A ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) )
74	15	rnmpt2 6770	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) = { z | E. x e. NN E. y e. A z = ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) }
75	71, 73, 74	elab2 3354	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) e. ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) <-> E. x e. NN E. y e. A ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) = ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) )
76	70, 75	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) ) -> ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) e. ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) )
77		inss1 3833	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) C_ ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) )
78	77, 61	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) ) -> t e. ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) )
79	45	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
80	49	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) ) -> ( 1 / n ) e. RR* )
81	41	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) ) -> z e. X )
82	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) ) -> A C_ X )
83	82, 62	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) ) -> t e. X )
84		blcom 22199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( 1 / n ) e. RR* ) /\ ( z e. X /\ t e. X ) ) -> ( t e. ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) <-> z e. ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) )
85	79, 80, 81, 83, 84	syl22anc 1327	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) ) -> ( t e. ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) <-> z e. ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) )
86	78, 85	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) ) -> z e. ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) )
87		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) -> r e. RR+ )
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) ) -> r e. RR+ )
89	88	rphalfcld 11884	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) ) -> ( r / 2 ) e. RR+ )
90	89	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) ) -> ( r / 2 ) e. RR* )
91		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) -> ( 1 / n ) < ( r / 2 ) )
92	87	rphalfcld 11884	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) -> ( r / 2 ) e. RR+ )
93		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 / n ) e. RR+ -> ( 1 / n ) e. RR )
94		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( r / 2 ) e. RR+ -> ( r / 2 ) e. RR )
95		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1 / n ) e. RR /\ ( r / 2 ) e. RR ) -> ( ( 1 / n ) < ( r / 2 ) -> ( 1 / n ) <_ ( r / 2 ) ) )
96	93, 94, 95	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 / n ) e. RR+ /\ ( r / 2 ) e. RR+ ) -> ( ( 1 / n ) < ( r / 2 ) -> ( 1 / n ) <_ ( r / 2 ) ) )
97	48, 92, 96	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) -> ( ( 1 / n ) < ( r / 2 ) -> ( 1 / n ) <_ ( r / 2 ) ) )
98	91, 97	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) -> ( 1 / n ) <_ ( r / 2 ) )
99	98	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) ) -> ( 1 / n ) <_ ( r / 2 ) )
100		ssbl 22228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ t e. X ) /\ ( ( 1 / n ) e. RR* /\ ( r / 2 ) e. RR* ) /\ ( 1 / n ) <_ ( r / 2 ) ) -> ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) C_ ( t ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) )
101	79, 83, 80, 90, 99, 100	syl221anc 1337	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) ) -> ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) C_ ( t ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) )
102	88	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) ) -> r e. RR )
103	101, 86	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) ) -> z e. ( t ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) )
104		blhalf 22210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ t e. X ) /\ ( r e. RR /\ z e. ( t ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) ) ) -> ( t ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) C_ ( z ( ball ` D ) r ) )
105	79, 83, 102, 103, 104	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) ) -> ( t ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) C_ ( z ( ball ` D ) r ) )
106		simprlr 803	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) -> ( z ( ball ` D ) r ) C_ u )
107	106	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) ) -> ( z ( ball ` D ) r ) C_ u )
108	105, 107	sstrd 3613	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) ) -> ( t ( ball ` D ) ( r / 2 ) ) C_ u )
109	101, 108	sstrd 3613	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) ) -> ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) C_ u )
110		eleq2 2690	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) -> ( z e. w <-> z e. ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) ) )
111		sseq1 3626	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) -> ( w C_ u <-> ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) C_ u ) )
112	110, 111	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) -> ( ( z e. w /\ w C_ u ) <-> ( z e. ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) /\ ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) C_ u ) ) )
113	112	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) e. ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) /\ ( z e. ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) /\ ( t ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) C_ u ) ) -> E. w e. ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) ( z e. w /\ w C_ u ) )
114	76, 86, 109, 113	syl12anc 1324	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) /\ t e. ( ( z ( ball ` D ) ( 1 / n ) ) i^i A ) ) -> E. w e. ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) ( z e. w /\ w C_ u ) )
115	58, 114	exlimddv 1863	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) ) -> E. w e. ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) ( z e. w /\ w C_ u ) )
116	115	anassrs 680	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) ) /\ ( n e. NN /\ ( 1 / n ) < ( r / 2 ) ) ) -> E. w e. ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) ( z e. w /\ w C_ u ) )
117	30, 116	rexlimddv 3035	. . . . 5 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( z ( ball ` D ) r ) C_ u ) ) -> E. w e. ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) ( z e. w /\ w C_ u ) )
118	24, 117	rexlimddv 3035	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) /\ ( u e. J /\ z e. u ) ) -> E. w e. ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) ( z e. w /\ w C_ u ) )
119	118	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) -> A. u e. J A. z e. u E. w e. ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) ( z e. w /\ w C_ u ) )
120		basgen2 20793	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) C_ J /\ A. u e. J A. z e. u E. w e. ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) ( z e. w /\ w C_ u ) ) -> ( topGen ` ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) ) = J )
121	3, 19, 119, 120	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) -> ( topGen ` ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) ) = J )
122	121, 3	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) -> ( topGen ` ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) ) e. Top )
123		tgclb 20774	. . . 4 |- ( ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) e. TopBases <-> ( topGen ` ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) ) e. Top )
124	122, 123	sylibr 224	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) -> ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) e. TopBases )
125		omelon 8543	. . . . . 6 |- om e. On
126		simpr2 1068	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) -> A ~<_ om )
127		nnex 11026	. . . . . . . . 9 |- NN e. _V
128	127	xpdom2 8055	. . . . . . . 8 |- ( A ~<_ om -> ( NN X. A ) ~<_ ( NN X. om ) )
129	126, 128	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) -> ( NN X. A ) ~<_ ( NN X. om ) )
130		nnenom 12779	. . . . . . . . 9 |- NN ~~ om
131		omex 8540	. . . . . . . . . 10 |- om e. _V
132	131	enref 7988	. . . . . . . . 9 |- om ~~ om
133		xpen 8123	. . . . . . . . 9 |- ( ( NN ~~ om /\ om ~~ om ) -> ( NN X. om ) ~~ ( om X. om ) )
134	130, 132, 133	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( NN X. om ) ~~ ( om X. om )
135		xpomen 8838	. . . . . . . 8 |- ( om X. om ) ~~ om
136	134, 135	entri 8010	. . . . . . 7 |- ( NN X. om ) ~~ om
137		domentr 8015	. . . . . . 7 |- ( ( ( NN X. A ) ~<_ ( NN X. om ) /\ ( NN X. om ) ~~ om ) -> ( NN X. A ) ~<_ om )
138	129, 136, 137	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) -> ( NN X. A ) ~<_ om )
139		ondomen 8860	. . . . . 6 |- ( ( om e. On /\ ( NN X. A ) ~<_ om ) -> ( NN X. A ) e. dom card )
140	125, 138, 139	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) -> ( NN X. A ) e. dom card )
141		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) : ( NN X. A ) --> J -> ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) Fn ( NN X. A ) )
142	17, 141	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) -> ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) Fn ( NN X. A ) )
143		dffn4 6121	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) Fn ( NN X. A ) <-> ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) : ( NN X. A ) -onto-> ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) )
144	142, 143	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) -> ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) : ( NN X. A ) -onto-> ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) )
145		fodomnum 8880	. . . . 5 |- ( ( NN X. A ) e. dom card -> ( ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) : ( NN X. A ) -onto-> ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) -> ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) ~<_ ( NN X. A ) ) )
146	140, 144, 145	sylc 65	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) -> ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) ~<_ ( NN X. A ) )
147		domtr 8009	. . . 4 |- ( ( ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) ~<_ ( NN X. A ) /\ ( NN X. A ) ~<_ om ) -> ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) ~<_ om )
148	146, 138, 147	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) -> ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) ~<_ om )
149		2ndci 21251	. . 3 |- ( ( ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) e. TopBases /\ ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) ~<_ om ) -> ( topGen ` ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) ) e. 2ndc )
150	124, 148, 149	syl2anc 693	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) -> ( topGen ` ran ( x e. NN , y e. A |-> ( y ( ball ` D ) ( 1 / x ) ) ) ) e. 2ndc )
151	121, 150	eqeltrrd 2702	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A C_ X /\ A ~<_ om /\ ( ( cls ` J ) ` A ) = X ) ) -> J e. 2ndc )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   Oncon0 5723   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   cardccrd 8761   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   RR+crp 11832   topGenctg 16098   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733   MetOpencmopn 19736   Topctop 20698   TopBasesctb 20749   clsccl 20822   2ndcc2ndc 21241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-2ndc 21243

This theorem is referenced by:  met2ndc  22328