Theorem tglowdim1i 25396

Description: Lower dimension axiom for one dimension. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglowdim1.p	|- P = ( Base ` G )
tglowdim1.d	|- .- = ( dist ` G )
tglowdim1.i	|- I = (Itv ` G )
tglowdim1.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
tglowdim1.1	|- ( ph -> 2 <_ ( # ` P ) )
tglowdim1i.1	|- ( ph -> X e. P )

Assertion

Ref	Expression
tglowdim1i	|- ( ph -> E. y e. P X =/= y )

Distinct variable groups:   y, P   y, X

Allowed substitution hints:   ph( y)   G( y)   I( y)   .- ( y)

Proof of Theorem tglowdim1i

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglowdim1.p	. . . . 5 |- P = ( Base ` G )
2		tglowdim1.d	. . . . 5 |- .- = ( dist ` G )
3		tglowdim1.i	. . . . 5 |- I = (Itv ` G )
4		tglowdim1.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. TarskiG )
5	4	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. y e. P X = y ) -> G e. TarskiG )
6		tglowdim1.1	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 <_ ( # ` P ) )
7	6	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. y e. P X = y ) -> 2 <_ ( # ` P ) )
8	1, 2, 3, 5, 7	tglowdim1 25395	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. y e. P X = y ) -> E. a e. P E. b e. P a =/= b )
9		simpllr 799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. P X = y ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) -> A. y e. P X = y )
10		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. P X = y ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) -> a e. P )
11		eqeq2 2633	. . . . . . . . . 10 |- ( y = a -> ( X = y <-> X = a ) )
12	11	rspccva 3308	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. y e. P X = y /\ a e. P ) -> X = a )
13	9, 10, 12	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. P X = y ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) -> X = a )
14		eqeq2 2633	. . . . . . . . . 10 |- ( y = b -> ( X = y <-> X = b ) )
15	14	rspccva 3308	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. y e. P X = y /\ b e. P ) -> X = b )
16	9, 15	sylancom 701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. P X = y ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) -> X = b )
17	13, 16	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. P X = y ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) -> a = b )
18		nne 2798	. . . . . . 7 |- ( -. a =/= b <-> a = b )
19	17, 18	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. P X = y ) /\ a e. P ) /\ b e. P ) -> -. a =/= b )
20	19	nrexdv 3001	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. y e. P X = y ) /\ a e. P ) -> -. E. b e. P a =/= b )
21	20	nrexdv 3001	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. y e. P X = y ) -> -. E. a e. P E. b e. P a =/= b )
22	8, 21	pm2.65da 600	. . 3 |- ( ph -> -. A. y e. P X = y )
23		rexnal 2995	. . 3 |- ( E. y e. P -. X = y <-> -. A. y e. P X = y )
24	22, 23	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> E. y e. P -. X = y )
25		df-ne 2795	. . 3 |- ( X =/= y <-> -. X = y )
26	25	rexbii 3041	. 2 |- ( E. y e. P X =/= y <-> E. y e. P -. X = y )
27	24, 26	sylibr 224	1 |- ( ph -> E. y e. P X =/= y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   <_ cle 10075   2c2 11070   #chash 13117   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  colline  25544