Theorem colline 25544

Description: Three points are colinear iff there is a line through all three of them. Theorem 6.23 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	|- P = ( Base ` G )
tglineintmo.i	|- I = (Itv ` G )
tglineintmo.l	|- L = (LineG ` G )
tglineintmo.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
colline.1	|- ( ph -> X e. P )
colline.2	|- ( ph -> Y e. P )
colline.3	|- ( ph -> Z e. P )
colline.4	|- ( ph -> 2 <_ ( # ` P ) )

Assertion

Ref	Expression
colline	|- ( ph -> ( ( X e. ( Y L Z ) \/ Y = Z ) <-> E. a e. ran L ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) ) )

Distinct variable groups:   L, a   X, a   Y, a   Z, a   ph, a

Allowed substitution hints:   P( a)   G( a)   I( a)

Proof of Theorem colline

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	. . . . . . . 8 |- P = ( Base ` G )
2		tglineintmo.i	. . . . . . . 8 |- I = (Itv ` G )
3		tglineintmo.l	. . . . . . . 8 |- L = (LineG ` G )
4		tglineintmo.g	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. TarskiG )
5	4	ad4antr 768	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y = Z ) /\ X = Z ) /\ x e. P ) /\ X =/= x ) -> G e. TarskiG )
6		colline.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. P )
7	6	ad4antr 768	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y = Z ) /\ X = Z ) /\ x e. P ) /\ X =/= x ) -> X e. P )
8		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y = Z ) /\ X = Z ) /\ x e. P ) /\ X =/= x ) -> x e. P )
9		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y = Z ) /\ X = Z ) /\ x e. P ) /\ X =/= x ) -> X =/= x )
10	1, 2, 3, 5, 7, 8, 9	tgelrnln 25525	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y = Z ) /\ X = Z ) /\ x e. P ) /\ X =/= x ) -> ( X L x ) e. ran L )
11	1, 2, 3, 5, 7, 8, 9	tglinerflx1 25528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y = Z ) /\ X = Z ) /\ x e. P ) /\ X =/= x ) -> X e. ( X L x ) )
12		simp-4r 807	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y = Z ) /\ X = Z ) /\ x e. P ) /\ X =/= x ) -> Y = Z )
13		simpllr 799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y = Z ) /\ X = Z ) /\ x e. P ) /\ X =/= x ) -> X = Z )
14	13, 11	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y = Z ) /\ X = Z ) /\ x e. P ) /\ X =/= x ) -> Z e. ( X L x ) )
15	12, 14	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y = Z ) /\ X = Z ) /\ x e. P ) /\ X =/= x ) -> Y e. ( X L x ) )
16		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( X L x ) -> ( X e. a <-> X e. ( X L x ) ) )
17		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( X L x ) -> ( Y e. a <-> Y e. ( X L x ) ) )
18		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( X L x ) -> ( Z e. a <-> Z e. ( X L x ) ) )
19	16, 17, 18	3anbi123d 1399	. . . . . . . 8 |- ( a = ( X L x ) -> ( ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) <-> ( X e. ( X L x ) /\ Y e. ( X L x ) /\ Z e. ( X L x ) ) ) )
20	19	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ( X L x ) e. ran L /\ ( X e. ( X L x ) /\ Y e. ( X L x ) /\ Z e. ( X L x ) ) ) -> E. a e. ran L ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) )
21	10, 11, 15, 14, 20	syl13anc 1328	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y = Z ) /\ X = Z ) /\ x e. P ) /\ X =/= x ) -> E. a e. ran L ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) )
22		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( dist ` G ) = ( dist ` G )
23		colline.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 <_ ( # ` P ) )
24	1, 22, 2, 4, 23, 6	tglowdim1i 25396	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. x e. P X =/= x )
25	24	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ Y = Z ) /\ X = Z ) -> E. x e. P X =/= x )
26	21, 25	r19.29a 3078	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ Y = Z ) /\ X = Z ) -> E. a e. ran L ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) )
27	4	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ Y = Z ) /\ X =/= Z ) -> G e. TarskiG )
28	6	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ Y = Z ) /\ X =/= Z ) -> X e. P )
29		colline.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Z e. P )
30	29	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ Y = Z ) /\ X =/= Z ) -> Z e. P )
31		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ Y = Z ) /\ X =/= Z ) -> X =/= Z )
32	1, 2, 3, 27, 28, 30, 31	tgelrnln 25525	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ Y = Z ) /\ X =/= Z ) -> ( X L Z ) e. ran L )
33	1, 2, 3, 27, 28, 30, 31	tglinerflx1 25528	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ Y = Z ) /\ X =/= Z ) -> X e. ( X L Z ) )
34		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ Y = Z ) /\ X =/= Z ) -> Y = Z )
35	1, 2, 3, 27, 28, 30, 31	tglinerflx2 25529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ Y = Z ) /\ X =/= Z ) -> Z e. ( X L Z ) )
36	34, 35	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ Y = Z ) /\ X =/= Z ) -> Y e. ( X L Z ) )
37		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( a = ( X L Z ) -> ( X e. a <-> X e. ( X L Z ) ) )
38		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( a = ( X L Z ) -> ( Y e. a <-> Y e. ( X L Z ) ) )
39		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( a = ( X L Z ) -> ( Z e. a <-> Z e. ( X L Z ) ) )
40	37, 38, 39	3anbi123d 1399	. . . . . . 7 |- ( a = ( X L Z ) -> ( ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) <-> ( X e. ( X L Z ) /\ Y e. ( X L Z ) /\ Z e. ( X L Z ) ) ) )
41	40	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( ( X L Z ) e. ran L /\ ( X e. ( X L Z ) /\ Y e. ( X L Z ) /\ Z e. ( X L Z ) ) ) -> E. a e. ran L ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) )
42	32, 33, 36, 35, 41	syl13anc 1328	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ Y = Z ) /\ X =/= Z ) -> E. a e. ran L ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) )
43	26, 42	pm2.61dane 2881	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y = Z ) -> E. a e. ran L ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) )
44	43	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( X e. ( Y L Z ) \/ Y = Z ) ) /\ Y = Z ) -> E. a e. ran L ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) )
45		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( X e. ( Y L Z ) \/ Y = Z ) ) /\ Y =/= Z ) -> ph )
46		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. ( Y L Z ) \/ Y = Z ) ) /\ Y =/= Z ) -> Y =/= Z )
47	46	neneqd 2799	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. ( Y L Z ) \/ Y = Z ) ) /\ Y =/= Z ) -> -. Y = Z )
48		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. ( Y L Z ) \/ Y = Z ) ) /\ Y =/= Z ) -> ( X e. ( Y L Z ) \/ Y = Z ) )
49		orel2 398	. . . . . 6 |- ( -. Y = Z -> ( ( X e. ( Y L Z ) \/ Y = Z ) -> X e. ( Y L Z ) ) )
50	47, 48, 49	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( X e. ( Y L Z ) \/ Y = Z ) ) /\ Y =/= Z ) -> X e. ( Y L Z ) )
51	4	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( Y L Z ) ) /\ Y =/= Z ) -> G e. TarskiG )
52		colline.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. P )
53	52	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( Y L Z ) ) /\ Y =/= Z ) -> Y e. P )
54	29	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( Y L Z ) ) /\ Y =/= Z ) -> Z e. P )
55		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( Y L Z ) ) /\ Y =/= Z ) -> Y =/= Z )
56	1, 2, 3, 51, 53, 54, 55	tgelrnln 25525	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( Y L Z ) ) /\ Y =/= Z ) -> ( Y L Z ) e. ran L )
57	45, 50, 46, 56	syl21anc 1325	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( X e. ( Y L Z ) \/ Y = Z ) ) /\ Y =/= Z ) -> ( Y L Z ) e. ran L )
58	1, 2, 3, 51, 53, 54, 55	tglinerflx1 25528	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( Y L Z ) ) /\ Y =/= Z ) -> Y e. ( Y L Z ) )
59	45, 50, 46, 58	syl21anc 1325	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( X e. ( Y L Z ) \/ Y = Z ) ) /\ Y =/= Z ) -> Y e. ( Y L Z ) )
60	1, 2, 3, 51, 53, 54, 55	tglinerflx2 25529	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( Y L Z ) ) /\ Y =/= Z ) -> Z e. ( Y L Z ) )
61	45, 50, 46, 60	syl21anc 1325	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( X e. ( Y L Z ) \/ Y = Z ) ) /\ Y =/= Z ) -> Z e. ( Y L Z ) )
62		eleq2 2690	. . . . . 6 |- ( a = ( Y L Z ) -> ( X e. a <-> X e. ( Y L Z ) ) )
63		eleq2 2690	. . . . . 6 |- ( a = ( Y L Z ) -> ( Y e. a <-> Y e. ( Y L Z ) ) )
64		eleq2 2690	. . . . . 6 |- ( a = ( Y L Z ) -> ( Z e. a <-> Z e. ( Y L Z ) ) )
65	62, 63, 64	3anbi123d 1399	. . . . 5 |- ( a = ( Y L Z ) -> ( ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) <-> ( X e. ( Y L Z ) /\ Y e. ( Y L Z ) /\ Z e. ( Y L Z ) ) ) )
66	65	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( ( Y L Z ) e. ran L /\ ( X e. ( Y L Z ) /\ Y e. ( Y L Z ) /\ Z e. ( Y L Z ) ) ) -> E. a e. ran L ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) )
67	57, 50, 59, 61, 66	syl13anc 1328	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( X e. ( Y L Z ) \/ Y = Z ) ) /\ Y =/= Z ) -> E. a e. ran L ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) )
68	44, 67	pm2.61dane 2881	. 2 |- ( ( ph /\ ( X e. ( Y L Z ) \/ Y = Z ) ) -> E. a e. ran L ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) )
69		df-ne 2795	. . . . . 6 |- ( Y =/= Z <-> -. Y = Z )
70		simplr1 1103	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran L ) /\ ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) ) /\ Y =/= Z ) -> X e. a )
71	4	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran L ) /\ ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) ) /\ Y =/= Z ) -> G e. TarskiG )
72	52	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran L ) /\ ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) ) /\ Y =/= Z ) -> Y e. P )
73	29	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran L ) /\ ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) ) /\ Y =/= Z ) -> Z e. P )
74		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran L ) /\ ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) ) /\ Y =/= Z ) -> Y =/= Z )
75		simpllr 799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran L ) /\ ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) ) /\ Y =/= Z ) -> a e. ran L )
76		simplr2 1104	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran L ) /\ ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) ) /\ Y =/= Z ) -> Y e. a )
77		simplr3 1105	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran L ) /\ ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) ) /\ Y =/= Z ) -> Z e. a )
78	1, 2, 3, 71, 72, 73, 74, 74, 75, 76, 77	tglinethru 25531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran L ) /\ ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) ) /\ Y =/= Z ) -> a = ( Y L Z ) )
79	70, 78	eleqtrd 2703	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran L ) /\ ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) ) /\ Y =/= Z ) -> X e. ( Y L Z ) )
80	79	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. ran L ) /\ ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) ) -> ( Y =/= Z -> X e. ( Y L Z ) ) )
81	69, 80	syl5bir 233	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. ran L ) /\ ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) ) -> ( -. Y = Z -> X e. ( Y L Z ) ) )
82	81	orrd 393	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ a e. ran L ) /\ ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) ) -> ( Y = Z \/ X e. ( Y L Z ) ) )
83	82	orcomd 403	. . 3 |- ( ( ( ph /\ a e. ran L ) /\ ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) ) -> ( X e. ( Y L Z ) \/ Y = Z ) )
84	83	r19.29an 3077	. 2 |- ( ( ph /\ E. a e. ran L ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) ) -> ( X e. ( Y L Z ) \/ Y = Z ) )
85	68, 84	impbida 877	1 |- ( ph -> ( ( X e. ( Y L Z ) \/ Y = Z ) <-> E. a e. ran L ( X e. a /\ Y e. a /\ Z e. a ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   <_ cle 10075   2c2 11070   #chash 13117   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335  LineGclng 25336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-trkgc 25347  df-trkgb 25348  df-trkgcb 25349  df-trkg 25352  df-cgrg 25406

This theorem is referenced by: (None)