Theorem clsnsg 21913

Description: The closure of a normal subgroup is a normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgntr.h	|- J = ( TopOpen ` G )

Assertion

Ref	Expression
clsnsg	|- ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) e. (NrmSGrp ` G ) )

Proof of Theorem clsnsg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 17626	. . 3 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
2		subgntr.h	. . . 4 |- J = ( TopOpen ` G )
3	2	clssubg 21912	. . 3 |- ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) e. (SubGrp ` G ) )
4	1, 3	sylan2 491	. 2 |- ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) e. (SubGrp ` G ) )
5		df-ima 5127	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) " ( ( cls ` J ) ` S ) ) = ran ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) |` ( ( cls ` J ) ` S ) )
6		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
7	2, 6	tgptopon 21886	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. TopGrp -> J e. (TopOn ` ( Base ` G ) ) )
8	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> J e. (TopOn ` ( Base ` G ) ) )
9		topontop 20718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. (TopOn ` ( Base ` G ) ) -> J e. Top )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> J e. Top )
11	1	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
12	6	subgss 17595	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> S C_ ( Base ` G ) )
14		toponuni 20719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. (TopOn ` ( Base ` G ) ) -> ( Base ` G ) = U. J )
15	8, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( Base ` G ) = U. J )
16	13, 15	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> S C_ U. J )
17		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- U. J = U. J
18	17	clsss3 20863	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ U. J )
19	10, 16, 18	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ U. J )
20	19, 15	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ ( Base ` G ) )
21	20	resmptd 5452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) |` ( ( cls ` J ) ` S ) ) = ( y e. ( ( cls ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) )
22	21	rneqd 5353	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ran ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) |` ( ( cls ` J ) ` S ) ) = ran ( y e. ( ( cls ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) )
23	5, 22	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) " ( ( cls ` J ) ` S ) ) = ran ( y e. ( ( cls ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) )
24		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
25		tgptmd 21883	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. TopGrp -> G e. TopMnd )
26	25	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> G e. TopMnd )
27		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> x e. ( Base ` G ) )
28	8, 8, 27	cnmptc 21465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( y e. ( Base ` G ) |-> x ) e. ( J Cn J ) )
29	8	cnmptid 21464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( y e. ( Base ` G ) |-> y ) e. ( J Cn J ) )
30	2, 24, 26, 8, 28, 29	cnmpt1plusg 21891	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( y e. ( Base ` G ) |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) e. ( J Cn J ) )
31		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( -g ` G ) = ( -g ` G )
32	2, 31	tgpsubcn 21894	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. TopGrp -> ( -g ` G ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
33	32	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( -g ` G ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
34	8, 30, 28, 33	cnmpt12f 21469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) e. ( J Cn J ) )
35	17	cnclsi 21076	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) e. ( J Cn J ) /\ S C_ U. J ) -> ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) " ( ( cls ` J ) ` S ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) " S ) ) )
36	34, 16, 35	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) " ( ( cls ` J ) ` S ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) " S ) ) )
37		df-ima 5127	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) " S ) = ran ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) |` S )
38	13	resmptd 5452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) |` S ) = ( y e. S |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) )
39	38	rneqd 5353	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ran ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) |` S ) = ran ( y e. S |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) )
40	37, 39	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) " S ) = ran ( y e. S |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) )
41	6, 24, 31	nsgconj 17627	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ x e. ( Base ` G ) /\ y e. S ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. S )
42	41	3expa 1265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ x e. ( Base ` G ) ) /\ y e. S ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. S )
43	42	adantlll 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) /\ y e. S ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. S )
44		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. S |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) = ( y e. S |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) )
45	43, 44	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( y e. S |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) : S --> S )
46		frn 6053	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. S |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) : S --> S -> ran ( y e. S |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) C_ S )
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ran ( y e. S |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) C_ S )
48	40, 47	eqsstrd 3639	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) " S ) C_ S )
49	17	clsss 20858	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J /\ ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) " S ) C_ S ) -> ( ( cls ` J ) ` ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) " S ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` S ) )
50	10, 16, 48, 49	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) " S ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` S ) )
51	36, 50	sstrd 3613	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) " ( ( cls ` J ) ` S ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` S ) )
52	23, 51	eqsstr3d 3640	. . . . 5 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ran ( y e. ( ( cls ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` S ) )
53		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. _V
54		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ( cls ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) = ( y e. ( ( cls ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) )
55	53, 54	fnmpti 6022	. . . . . 6 |- ( y e. ( ( cls ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) Fn ( ( cls ` J ) ` S )
56		df-f 5892	. . . . . 6 |- ( ( y e. ( ( cls ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) : ( ( cls ` J ) ` S ) --> ( ( cls ` J ) ` S ) <-> ( ( y e. ( ( cls ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) Fn ( ( cls ` J ) ` S ) /\ ran ( y e. ( ( cls ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` S ) ) )
57	55, 56	mpbiran 953	. . . . 5 |- ( ( y e. ( ( cls ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) : ( ( cls ` J ) ` S ) --> ( ( cls ` J ) ` S ) <-> ran ( y e. ( ( cls ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` S ) )
58	52, 57	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( y e. ( ( cls ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) : ( ( cls ` J ) ` S ) --> ( ( cls ` J ) ` S ) )
59	54	fmpt 6381	. . . 4 |- ( A. y e. ( ( cls ` J ) ` S ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. ( ( cls ` J ) ` S ) <-> ( y e. ( ( cls ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) ) : ( ( cls ` J ) ` S ) --> ( ( cls ` J ) ` S ) )
60	58, 59	sylibr 224	. . 3 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> A. y e. ( ( cls ` J ) ` S ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. ( ( cls ` J ) ` S ) )
61	60	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) -> A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( ( cls ` J ) ` S ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. ( ( cls ` J ) ` S ) )
62	6, 24, 31	isnsg3 17628	. 2 |- ( ( ( cls ` J ) ` S ) e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( ( ( cls ` J ) ` S ) e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( ( cls ` J ) ` S ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) )
63	4, 61, 62	sylanbrc 698	1 |- ( ( G e. TopGrp /\ S e. (NrmSGrp ` G ) ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) e. (NrmSGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   TopOpenctopn 16082   -gcsg 17424  SubGrpcsubg 17588  NrmSGrpcnsg 17589   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   clsccl 20822   Cn ccn 21028   tX ctx 21363  TopMndctmd 21874   TopGrpctgp 21875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-tmd 21876  df-tgp 21877

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