Theorem subgntr 21910

Description: A subgroup of a topological group with nonempty interior is open. Alternatively, dual to clssubg 21912, the interior of a subgroup is either a subgroup, or empty. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgntr.h	|- J = ( TopOpen ` G )

Assertion

Ref	Expression
subgntr	|- ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) -> S e. J )

Proof of Theorem subgntr

Dummy variables x u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5127	. . . . . 6 |- ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) " ( ( int ` J ) ` S ) ) = ran ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) |` ( ( int ` J ) ` S ) )
2		subgntr.h	. . . . . . . . . . . 12 |- J = ( TopOpen ` G )
3		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
4	2, 3	tgptopon 21886	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. TopGrp -> J e. (TopOn ` ( Base ` G ) ) )
5	4	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) -> J e. (TopOn ` ( Base ` G ) ) )
6	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> J e. (TopOn ` ( Base ` G ) ) )
7		topontop 20718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. (TopOn ` ( Base ` G ) ) -> J e. Top )
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) -> J e. Top )
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> J e. Top )
10		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
11	3	subgss 17595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> S C_ ( Base ` G ) )
13		toponuni 20719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. (TopOn ` ( Base ` G ) ) -> ( Base ` G ) = U. J )
14	6, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> ( Base ` G ) = U. J )
15	12, 14	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> S C_ U. J )
16		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- U. J = U. J
17	16	ntropn 20853	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` S ) e. J )
18	9, 15, 17	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> ( ( int ` J ) ` S ) e. J )
19		toponss 20731	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` ( Base ` G ) ) /\ ( ( int ` J ) ` S ) e. J ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ ( Base ` G ) )
20	6, 18, 19	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ ( Base ` G ) )
21	20	resmptd 5452	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) |` ( ( int ` J ) ` S ) ) = ( y e. ( ( int ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) )
22	21	rneqd 5353	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> ran ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) |` ( ( int ` J ) ` S ) ) = ran ( y e. ( ( int ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) )
23	1, 22	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) " ( ( int ` J ) ` S ) ) = ran ( y e. ( ( int ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) )
24		simpl1 1064	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> G e. TopGrp )
25		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> x e. S )
26	16	ntrss2 20861	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ S )
27	9, 15, 26	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ S )
28		simpl3 1066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> A e. ( ( int ` J ) ` S ) )
29	27, 28	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> A e. S )
30		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( -g ` G ) = ( -g ` G )
31	30	subgsubcl 17605	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ x e. S /\ A e. S ) -> ( x ( -g ` G ) A ) e. S )
32	10, 25, 29, 31	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> ( x ( -g ` G ) A ) e. S )
33	12, 32	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> ( x ( -g ` G ) A ) e. ( Base ` G ) )
34		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) = ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) )
35		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
36	34, 3, 35, 2	tgplacthmeo 21907	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( x ( -g ` G ) A ) e. ( Base ` G ) ) -> ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) e. ( J Homeo J ) )
37	24, 33, 36	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) e. ( J Homeo J ) )
38		hmeoima 21568	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) e. ( J Homeo J ) /\ ( ( int ` J ) ` S ) e. J ) -> ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) " ( ( int ` J ) ` S ) ) e. J )
39	37, 18, 38	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> ( ( y e. ( Base ` G ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) " ( ( int ` J ) ` S ) ) e. J )
40	23, 39	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> ran ( y e. ( ( int ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) e. J )
41		tgpgrp 21882	. . . . . . 7 |- ( G e. TopGrp -> G e. Grp )
42	24, 41	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> G e. Grp )
43	11	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) -> S C_ ( Base ` G ) )
44	43	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> x e. ( Base ` G ) )
45	20, 28	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> A e. ( Base ` G ) )
46	3, 35, 30	grpnpcan 17507	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ x e. ( Base ` G ) /\ A e. ( Base ` G ) ) -> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) A ) = x )
47	42, 44, 45, 46	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) A ) = x )
48		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) A ) e. _V
49		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ( int ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) = ( y e. ( ( int ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) )
50		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( y = A -> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) = ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) A ) )
51	49, 50	elrnmpt1s 5373	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ( int ` J ) ` S ) /\ ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) A ) e. _V ) -> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) A ) e. ran ( y e. ( ( int ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) )
52	28, 48, 51	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) A ) e. ran ( y e. ( ( int ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) )
53	47, 52	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> x e. ran ( y e. ( ( int ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) )
54	10	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) /\ y e. ( ( int ` J ) ` S ) ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
55	32	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) /\ y e. ( ( int ` J ) ` S ) ) -> ( x ( -g ` G ) A ) e. S )
56	27	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) /\ y e. ( ( int ` J ) ` S ) ) -> y e. S )
57	35	subgcl 17604	. . . . . . 7 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ ( x ( -g ` G ) A ) e. S /\ y e. S ) -> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) e. S )
58	54, 55, 56, 57	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) /\ y e. ( ( int ` J ) ` S ) ) -> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) e. S )
59	58, 49	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> ( y e. ( ( int ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) : ( ( int ` J ) ` S ) --> S )
60		frn 6053	. . . . 5 |- ( ( y e. ( ( int ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) : ( ( int ` J ) ` S ) --> S -> ran ( y e. ( ( int ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) C_ S )
61	59, 60	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> ran ( y e. ( ( int ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) C_ S )
62		eleq2 2690	. . . . . 6 |- ( u = ran ( y e. ( ( int ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) -> ( x e. u <-> x e. ran ( y e. ( ( int ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) ) )
63		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( u = ran ( y e. ( ( int ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) -> ( u C_ S <-> ran ( y e. ( ( int ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) C_ S ) )
64	62, 63	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( u = ran ( y e. ( ( int ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) -> ( ( x e. u /\ u C_ S ) <-> ( x e. ran ( y e. ( ( int ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) /\ ran ( y e. ( ( int ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) C_ S ) ) )
65	64	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( ran ( y e. ( ( int ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) e. J /\ ( x e. ran ( y e. ( ( int ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) /\ ran ( y e. ( ( int ` J ) ` S ) |-> ( ( x ( -g ` G ) A ) ( +g ` G ) y ) ) C_ S ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ u C_ S ) )
66	40, 53, 61, 65	syl12anc 1324	. . 3 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) /\ x e. S ) -> E. u e. J ( x e. u /\ u C_ S ) )
67	66	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) -> A. x e. S E. u e. J ( x e. u /\ u C_ S ) )
68		eltop2 20779	. . 3 |- ( J e. Top -> ( S e. J <-> A. x e. S E. u e. J ( x e. u /\ u C_ S ) ) )
69	8, 68	syl 17	. 2 |- ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) -> ( S e. J <-> A. x e. S E. u e. J ( x e. u /\ u C_ S ) ) )
70	67, 69	mpbird 247	1 |- ( ( G e. TopGrp /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ( ( int ` J ) ` S ) ) -> S e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   TopOpenctopn 16082   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424  SubGrpcsubg 17588   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   intcnt 20821   Homeochmeo 21556   TopGrpctgp 21875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-tmd 21876  df-tgp 21877

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