Theorem tgpconncompeqg 21915

Description: The connected component containing A is the left coset of the identity component containing A. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpconncomp.x	|- X = ( Base ` G )
tgpconncomp.z	|- .0. = ( 0g ` G )
tgpconncomp.j	|- J = ( TopOpen ` G )
tgpconncomp.s	|- S = U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Conn ) }
tgpconncompeqg.r	|- .~ = ( G ~QG S )

Assertion

Ref	Expression
tgpconncompeqg	|- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> [ A ] .~ = U. { x e. ~P X | ( A e. x /\ ( J ↾t x ) e. Conn ) } )

Distinct variable groups:   x, .0.   x, A   x, J   x, G   x, X

Allowed substitution hints:   .~ ( x)   S( x)

Proof of Theorem tgpconncompeqg

Dummy variables y z g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfec2 7745	. . . . 5 |- ( A e. X -> [ A ] .~ = { z | A .~ z } )
2	1	adantl 482	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> [ A ] .~ = { z | A .~ z } )
3		tgpconncomp.s	. . . . . . . . 9 |- S = U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Conn ) }
4		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 |- { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Conn ) } C_ ~P X
5		sspwuni 4611	. . . . . . . . . 10 |- ( { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Conn ) } C_ ~P X <-> U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Conn ) } C_ X )
6	4, 5	mpbi 220	. . . . . . . . 9 |- U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Conn ) } C_ X
7	3, 6	eqsstri 3635	. . . . . . . 8 |- S C_ X
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> S C_ X )
9		tgpconncomp.x	. . . . . . . 8 |- X = ( Base ` G )
10		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
11		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
12		tgpconncompeqg.r	. . . . . . . 8 |- .~ = ( G ~QG S )
13	9, 10, 11, 12	eqgval 17643	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ S C_ X ) -> ( A .~ z <-> ( A e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) ( +g ` G ) z ) e. S ) ) )
14	8, 13	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( A .~ z <-> ( A e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) ( +g ` G ) z ) e. S ) ) )
15		simp2 1062	. . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) ( +g ` G ) z ) e. S ) -> z e. X )
16	14, 15	syl6bi 243	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( A .~ z -> z e. X ) )
17	16	abssdv 3676	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> { z | A .~ z } C_ X )
18	2, 17	eqsstrd 3639	. . 3 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> [ A ] .~ C_ X )
19		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> A e. X )
20		tgpgrp 21882	. . . . . . 7 |- ( G e. TopGrp -> G e. Grp )
21		tgpconncomp.z	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` G )
22	9, 11, 21, 10	grplinv 17468	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) ( +g ` G ) A ) = .0. )
23	20, 22	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) ( +g ` G ) A ) = .0. )
24		tgpconncomp.j	. . . . . . . . 9 |- J = ( TopOpen ` G )
25	24, 9	tgptopon 21886	. . . . . . . 8 |- ( G e. TopGrp -> J e. (TopOn ` X ) )
26	25	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
27	20	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> G e. Grp )
28	9, 21	grpidcl 17450	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> .0. e. X )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> .0. e. X )
30	3	conncompid 21234	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ .0. e. X ) -> .0. e. S )
31	26, 29, 30	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> .0. e. S )
32	23, 31	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) ( +g ` G ) A ) e. S )
33	9, 10, 11, 12	eqgval 17643	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ S C_ X ) -> ( A .~ A <-> ( A e. X /\ A e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) ( +g ` G ) A ) e. S ) ) )
34	8, 33	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( A .~ A <-> ( A e. X /\ A e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) ( +g ` G ) A ) e. S ) ) )
35	19, 19, 32, 34	mpbir3and 1245	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> A .~ A )
36		elecg 7785	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ A e. X ) -> ( A e. [ A ] .~ <-> A .~ A ) )
37	19, 19, 36	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( A e. [ A ] .~ <-> A .~ A ) )
38	35, 37	mpbird 247	. . 3 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> A e. [ A ] .~ )
39	9, 12, 11	eqglact 17645	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ X /\ A e. X ) -> [ A ] .~ = ( ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " S ) )
40	7, 39	mp3an2 1412	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> [ A ] .~ = ( ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " S ) )
41	20, 40	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> [ A ] .~ = ( ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " S ) )
42	41	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( J ↾t [ A ] .~ ) = ( J ↾t ( ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " S ) ) )
43		eqid 2622	. . . . 5 |- U. J = U. J
44		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) = ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) )
45	44, 9, 11, 24	tgplacthmeo 21907	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) e. ( J Homeo J ) )
46		hmeocn 21563	. . . . . 6 |- ( ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) e. ( J Homeo J ) -> ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) e. ( J Cn J ) )
47	45, 46	syl 17	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) e. ( J Cn J ) )
48		toponuni 20719	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
49	26, 48	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> X = U. J )
50	7, 49	syl5sseq 3653	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> S C_ U. J )
51	3	conncompconn 21235	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ .0. e. X ) -> ( J ↾t S ) e. Conn )
52	26, 29, 51	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( J ↾t S ) e. Conn )
53	43, 47, 50, 52	connima 21228	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( J ↾t ( ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " S ) ) e. Conn )
54	42, 53	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( J ↾t [ A ] .~ ) e. Conn )
55		eqid 2622	. . . 4 |- U. { x e. ~P X | ( A e. x /\ ( J ↾t x ) e. Conn ) } = U. { x e. ~P X | ( A e. x /\ ( J ↾t x ) e. Conn ) }
56	55	conncompss 21236	. . 3 |- ( ( [ A ] .~ C_ X /\ A e. [ A ] .~ /\ ( J ↾t [ A ] .~ ) e. Conn ) -> [ A ] .~ C_ U. { x e. ~P X | ( A e. x /\ ( J ↾t x ) e. Conn ) } )
57	18, 38, 54, 56	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> [ A ] .~ C_ U. { x e. ~P X | ( A e. x /\ ( J ↾t x ) e. Conn ) } )
58		elpwi 4168	. . . . . 6 |- ( y e. ~P X -> y C_ X )
59	44	mptpreima 5628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " y ) = { z e. X | ( A ( +g ` G ) z ) e. y }
60		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . 12 |- { z e. X | ( A ( +g ` G ) z ) e. y } C_ X
61	59, 60	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " y ) C_ X
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Conn ) ) ) -> ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " y ) C_ X )
63	29	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Conn ) ) ) -> .0. e. X )
64	9, 11, 21	grprid 17453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( A ( +g ` G ) .0. ) = A )
65	20, 64	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( A ( +g ` G ) .0. ) = A )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Conn ) ) ) -> ( A ( +g ` G ) .0. ) = A )
67		simprrl 804	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Conn ) ) ) -> A e. y )
68	66, 67	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Conn ) ) ) -> ( A ( +g ` G ) .0. ) e. y )
69		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = .0. -> ( A ( +g ` G ) z ) = ( A ( +g ` G ) .0. ) )
70	69	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = .0. -> ( ( A ( +g ` G ) z ) e. y <-> ( A ( +g ` G ) .0. ) e. y ) )
71	70, 59	elrab2 3366	. . . . . . . . . . 11 |- ( .0. e. ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " y ) <-> ( .0. e. X /\ ( A ( +g ` G ) .0. ) e. y ) )
72	63, 68, 71	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Conn ) ) ) -> .0. e. ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " y ) )
73		hmeocnvcn 21564	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) e. ( J Homeo J ) -> `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) e. ( J Cn J ) )
74	45, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) e. ( J Cn J ) )
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Conn ) ) ) -> `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) e. ( J Cn J ) )
76		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Conn ) ) ) -> y C_ X )
77	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Conn ) ) ) -> X = U. J )
78	76, 77	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Conn ) ) ) -> y C_ U. J )
79		simprrr 805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Conn ) ) ) -> ( J ↾t y ) e. Conn )
80	43, 75, 78, 79	connima 21228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Conn ) ) ) -> ( J ↾t ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " y ) ) e. Conn )
81	3	conncompss 21236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " y ) C_ X /\ .0. e. ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " y ) /\ ( J ↾t ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " y ) ) e. Conn ) -> ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " y ) C_ S )
82	62, 72, 80, 81	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Conn ) ) ) -> ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " y ) C_ S )
83		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g e. X |-> ( z e. X |-> ( g ( +g ` G ) z ) ) ) = ( g e. X |-> ( z e. X |-> ( g ( +g ` G ) z ) ) )
84	83, 9, 11, 10	grplactcnv 17518	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( ( ( g e. X |-> ( z e. X |-> ( g ( +g ` G ) z ) ) ) ` A ) : X -1-1-onto-> X /\ `' ( ( g e. X |-> ( z e. X |-> ( g ( +g ` G ) z ) ) ) ` A ) = ( ( g e. X |-> ( z e. X |-> ( g ( +g ` G ) z ) ) ) ` ( ( invg ` G ) ` A ) ) ) )
85	20, 84	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( ( ( g e. X |-> ( z e. X |-> ( g ( +g ` G ) z ) ) ) ` A ) : X -1-1-onto-> X /\ `' ( ( g e. X |-> ( z e. X |-> ( g ( +g ` G ) z ) ) ) ` A ) = ( ( g e. X |-> ( z e. X |-> ( g ( +g ` G ) z ) ) ) ` ( ( invg ` G ) ` A ) ) ) )
86	85	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( ( g e. X |-> ( z e. X |-> ( g ( +g ` G ) z ) ) ) ` A ) : X -1-1-onto-> X )
87	83, 9	grplactfval 17516	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. X -> ( ( g e. X |-> ( z e. X |-> ( g ( +g ` G ) z ) ) ) ` A ) = ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) )
88	87	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( ( g e. X |-> ( z e. X |-> ( g ( +g ` G ) z ) ) ) ` A ) = ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) )
89		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g e. X |-> ( z e. X |-> ( g ( +g ` G ) z ) ) ) ` A ) = ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) -> ( ( ( g e. X |-> ( z e. X |-> ( g ( +g ` G ) z ) ) ) ` A ) : X -1-1-onto-> X <-> ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X ) )
90	88, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( ( ( g e. X |-> ( z e. X |-> ( g ( +g ` G ) z ) ) ) ` A ) : X -1-1-onto-> X <-> ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X ) )
91	86, 90	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X )
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Conn ) ) ) -> ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X )
93		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X -> `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X )
94		f1ofun 6139	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X -> Fun `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) )
95	92, 93, 94	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Conn ) ) ) -> Fun `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) )
96		f1odm 6141	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X -> dom `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) = X )
97	92, 93, 96	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Conn ) ) ) -> dom `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) = X )
98	76, 97	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Conn ) ) ) -> y C_ dom `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) )
99		funimass3 6333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) /\ y C_ dom `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) ) -> ( ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " y ) C_ S <-> y C_ ( `' `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " S ) ) )
100	95, 98, 99	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Conn ) ) ) -> ( ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " y ) C_ S <-> y C_ ( `' `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " S ) ) )
101	82, 100	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Conn ) ) ) -> y C_ ( `' `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " S ) )
102	41	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Conn ) ) ) -> [ A ] .~ = ( ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " S ) )
103		imacnvcnv 5599	. . . . . . . . 9 |- ( `' `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " S ) = ( ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " S )
104	102, 103	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Conn ) ) ) -> [ A ] .~ = ( `' `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " S ) )
105	101, 104	sseqtr4d 3642	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Conn ) ) ) -> y C_ [ A ] .~ )
106	105	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ y C_ X ) -> ( ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Conn ) -> y C_ [ A ] .~ ) )
107	58, 106	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Conn ) -> y C_ [ A ] .~ ) )
108	107	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> A. y e. ~P X ( ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Conn ) -> y C_ [ A ] .~ ) )
109		eleq2 2690	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A e. x <-> A e. y ) )
110		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( J ↾t x ) = ( J ↾t y ) )
111	110	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( J ↾t x ) e. Conn <-> ( J ↾t y ) e. Conn ) )
112	109, 111	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A e. x /\ ( J ↾t x ) e. Conn ) <-> ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Conn ) ) )
113	112	ralrab 3368	. . . 4 |- ( A. y e. { x e. ~P X | ( A e. x /\ ( J ↾t x ) e. Conn ) } y C_ [ A ] .~ <-> A. y e. ~P X ( ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Conn ) -> y C_ [ A ] .~ ) )
114	108, 113	sylibr 224	. . 3 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> A. y e. { x e. ~P X | ( A e. x /\ ( J ↾t x ) e. Conn ) } y C_ [ A ] .~ )
115		unissb 4469	. . 3 |- ( U. { x e. ~P X | ( A e. x /\ ( J ↾t x ) e. Conn ) } C_ [ A ] .~ <-> A. y e. { x e. ~P X | ( A e. x /\ ( J ↾t x ) e. Conn ) } y C_ [ A ] .~ )
116	114, 115	sylibr 224	. 2 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> U. { x e. ~P X | ( A e. x /\ ( J ↾t x ) e. Conn ) } C_ [ A ] .~ )
117	57, 116	eqssd 3620	1 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> [ A ] .~ = U. { x e. ~P X | ( A e. x /\ ( J ↾t x ) e. Conn ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Fun wfun 5882   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   [cec 7740   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   ~_QG cqg 17590  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028  Conncconn 21214   Homeochmeo 21556   TopGrpctgp 21875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-map 7859  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-eqg 17593  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-conn 21215  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-tmd 21876  df-tgp 21877

This theorem is referenced by:  tgpconncomp  21916