Theorem prdstgpd 21928

Description: The product of a family of topological groups is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdstgpd.y	|- Y = ( S X_s R )
prdstgpd.i	|- ( ph -> I e. W )
prdstgpd.s	|- ( ph -> S e. V )
prdstgpd.r	|- ( ph -> R : I --> TopGrp )

Assertion

Ref	Expression
prdstgpd	|- ( ph -> Y e. TopGrp )

Proof of Theorem prdstgpd

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdstgpd.y	. . 3 |- Y = ( S X_s R )
2		prdstgpd.i	. . 3 |- ( ph -> I e. W )
3		prdstgpd.s	. . 3 |- ( ph -> S e. V )
4		prdstgpd.r	. . . 4 |- ( ph -> R : I --> TopGrp )
5		tgpgrp 21882	. . . . 5 |- ( x e. TopGrp -> x e. Grp )
6	5	ssriv 3607	. . . 4 |- TopGrp C_ Grp
7		fss 6056	. . . 4 |- ( ( R : I --> TopGrp /\ TopGrp C_ Grp ) -> R : I --> Grp )
8	4, 6, 7	sylancl 694	. . 3 |- ( ph -> R : I --> Grp )
9	1, 2, 3, 8	prdsgrpd 17525	. 2 |- ( ph -> Y e. Grp )
10		tgptmd 21883	. . . . 5 |- ( x e. TopGrp -> x e. TopMnd )
11	10	ssriv 3607	. . . 4 |- TopGrp C_ TopMnd
12		fss 6056	. . . 4 |- ( ( R : I --> TopGrp /\ TopGrp C_ TopMnd ) -> R : I -->TopMnd )
13	4, 11, 12	sylancl 694	. . 3 |- ( ph -> R : I -->TopMnd )
14	1, 2, 3, 13	prdstmdd 21927	. 2 |- ( ph -> Y e. TopMnd )
15		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
16		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( invg ` Y ) = ( invg ` Y )
17	15, 16	grpinvf 17466	. . . . . . 7 |- ( Y e. Grp -> ( invg ` Y ) : ( Base ` Y ) --> ( Base ` Y ) )
18	9, 17	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( invg ` Y ) : ( Base ` Y ) --> ( Base ` Y ) )
19	18	feqmptd 6249	. . . . 5 |- ( ph -> ( invg ` Y ) = ( x e. ( Base ` Y ) |-> ( ( invg ` Y ) ` x ) ) )
20	2	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` Y ) ) -> I e. W )
21	3	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` Y ) ) -> S e. V )
22	8	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` Y ) ) -> R : I --> Grp )
23		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` Y ) ) -> x e. ( Base ` Y ) )
24	1, 20, 21, 22, 15, 16, 23	prdsinvgd 17526	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( invg ` Y ) ` x ) = ( y e. I |-> ( ( invg ` ( R ` y ) ) ` ( x ` y ) ) ) )
25	24	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( Base ` Y ) |-> ( ( invg ` Y ) ` x ) ) = ( x e. ( Base ` Y ) |-> ( y e. I |-> ( ( invg ` ( R ` y ) ) ` ( x ` y ) ) ) ) )
26	19, 25	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( invg ` Y ) = ( x e. ( Base ` Y ) |-> ( y e. I |-> ( ( invg ` ( R ` y ) ) ` ( x ` y ) ) ) ) )
27		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) = ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) )
28		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` Y ) = ( TopOpen ` Y )
29	28, 15	tmdtopon 21885	. . . . . 6 |- ( Y e. TopMnd -> ( TopOpen ` Y ) e. (TopOn ` ( Base ` Y ) ) )
30	14, 29	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( TopOpen ` Y ) e. (TopOn ` ( Base ` Y ) ) )
31		topnfn 16086	. . . . . . 7 |- TopOpen Fn _V
32		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( R : I --> TopGrp -> R Fn I )
33	4, 32	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R Fn I )
34		dffn2 6047	. . . . . . . 8 |- ( R Fn I <-> R : I --> _V )
35	33, 34	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ph -> R : I --> _V )
36		fnfco 6069	. . . . . . 7 |- ( ( TopOpen Fn _V /\ R : I --> _V ) -> ( TopOpen o. R ) Fn I )
37	31, 35, 36	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( TopOpen o. R ) Fn I )
38		fvco3 6275	. . . . . . . . 9 |- ( ( R : I --> TopGrp /\ y e. I ) -> ( ( TopOpen o. R ) ` y ) = ( TopOpen ` ( R ` y ) ) )
39	4, 38	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( ( TopOpen o. R ) ` y ) = ( TopOpen ` ( R ` y ) ) )
40	4	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( R ` y ) e. TopGrp )
41		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( TopOpen ` ( R ` y ) ) = ( TopOpen ` ( R ` y ) )
42		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` ( R ` y ) ) = ( Base ` ( R ` y ) )
43	41, 42	tgptopon 21886	. . . . . . . . 9 |- ( ( R ` y ) e. TopGrp -> ( TopOpen ` ( R ` y ) ) e. (TopOn ` ( Base ` ( R ` y ) ) ) )
44		topontop 20718	. . . . . . . . 9 |- ( ( TopOpen ` ( R ` y ) ) e. (TopOn ` ( Base ` ( R ` y ) ) ) -> ( TopOpen ` ( R ` y ) ) e. Top )
45	40, 43, 44	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( TopOpen ` ( R ` y ) ) e. Top )
46	39, 45	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( ( TopOpen o. R ) ` y ) e. Top )
47	46	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y e. I ( ( TopOpen o. R ) ` y ) e. Top )
48		ffnfv 6388	. . . . . 6 |- ( ( TopOpen o. R ) : I --> Top <-> ( ( TopOpen o. R ) Fn I /\ A. y e. I ( ( TopOpen o. R ) ` y ) e. Top ) )
49	37, 47, 48	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ph -> ( TopOpen o. R ) : I --> Top )
50	30	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( TopOpen ` Y ) e. (TopOn ` ( Base ` Y ) ) )
51	1, 3, 2, 33, 28	prdstopn 21431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( TopOpen ` Y ) = ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) )
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( TopOpen ` Y ) = ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) )
53	52	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) = ( TopOpen ` Y ) )
54	53, 50	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) e. (TopOn ` ( Base ` Y ) ) )
55		toponuni 20719	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) e. (TopOn ` ( Base ` Y ) ) -> ( Base ` Y ) = U. ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) )
56		mpteq1 4737	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Base ` Y ) = U. ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) -> ( x e. ( Base ` Y ) |-> ( x ` y ) ) = ( x e. U. ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) |-> ( x ` y ) ) )
57	54, 55, 56	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( x e. ( Base ` Y ) |-> ( x ` y ) ) = ( x e. U. ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) |-> ( x ` y ) ) )
58	2	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> I e. W )
59	49	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( TopOpen o. R ) : I --> Top )
60		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> y e. I )
61		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- U. ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) = U. ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) )
62	61, 27	ptpjcn 21414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. W /\ ( TopOpen o. R ) : I --> Top /\ y e. I ) -> ( x e. U. ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) |-> ( x ` y ) ) e. ( ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) Cn ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) )
63	58, 59, 60, 62	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( x e. U. ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) |-> ( x ` y ) ) e. ( ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) Cn ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) )
64	57, 63	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( x e. ( Base ` Y ) |-> ( x ` y ) ) e. ( ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) Cn ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) )
65	53, 39	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) Cn ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) = ( ( TopOpen ` Y ) Cn ( TopOpen ` ( R ` y ) ) ) )
66	64, 65	eleqtrd 2703	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( x e. ( Base ` Y ) |-> ( x ` y ) ) e. ( ( TopOpen ` Y ) Cn ( TopOpen ` ( R ` y ) ) ) )
67		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( invg ` ( R ` y ) ) = ( invg ` ( R ` y ) )
68	41, 67	tgpinv 21889	. . . . . . . 8 |- ( ( R ` y ) e. TopGrp -> ( invg ` ( R ` y ) ) e. ( ( TopOpen ` ( R ` y ) ) Cn ( TopOpen ` ( R ` y ) ) ) )
69	40, 68	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( invg ` ( R ` y ) ) e. ( ( TopOpen ` ( R ` y ) ) Cn ( TopOpen ` ( R ` y ) ) ) )
70	50, 66, 69	cnmpt11f 21467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( x e. ( Base ` Y ) |-> ( ( invg ` ( R ` y ) ) ` ( x ` y ) ) ) e. ( ( TopOpen ` Y ) Cn ( TopOpen ` ( R ` y ) ) ) )
71	39	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( ( TopOpen ` Y ) Cn ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) = ( ( TopOpen ` Y ) Cn ( TopOpen ` ( R ` y ) ) ) )
72	70, 71	eleqtrrd 2704	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( x e. ( Base ` Y ) |-> ( ( invg ` ( R ` y ) ) ` ( x ` y ) ) ) e. ( ( TopOpen ` Y ) Cn ( ( TopOpen o. R ) ` y ) ) )
73	27, 30, 2, 49, 72	ptcn 21430	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( Base ` Y ) |-> ( y e. I |-> ( ( invg ` ( R ` y ) ) ` ( x ` y ) ) ) ) e. ( ( TopOpen ` Y ) Cn ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) ) )
74	26, 73	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> ( invg ` Y ) e. ( ( TopOpen ` Y ) Cn ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) ) )
75	51	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( ( TopOpen ` Y ) Cn ( TopOpen ` Y ) ) = ( ( TopOpen ` Y ) Cn ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) ) )
76	74, 75	eleqtrrd 2704	. 2 |- ( ph -> ( invg ` Y ) e. ( ( TopOpen ` Y ) Cn ( TopOpen ` Y ) ) )
77	28, 16	istgp 21881	. 2 |- ( Y e. TopGrp <-> ( Y e. Grp /\ Y e. TopMnd /\ ( invg ` Y ) e. ( ( TopOpen ` Y ) Cn ( TopOpen ` Y ) ) ) )
78	9, 14, 76, 77	syl3anbrc 1246	1 |- ( ph -> Y e. TopGrp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   TopOpenctopn 16082   Xt_cpt 16099   X__scprds 16106   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028  TopMndctmd 21874   TopGrpctgp 21875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-tmd 21876  df-tgp 21877

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