Theorem txcmp 21446

Description: The topological product of two compact spaces is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) (Proof shortened 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
txcmp	|- ( ( R e. Comp /\ S e. Comp ) -> ( R tX S ) e. Comp )

Proof of Theorem txcmp

Dummy variables w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmptop 21198	. . 3 |- ( R e. Comp -> R e. Top )
2		cmptop 21198	. . 3 |- ( S e. Comp -> S e. Top )
3		txtop 21372	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) e. Top )
4	1, 2, 3	syl2an 494	. 2 |- ( ( R e. Comp /\ S e. Comp ) -> ( R tX S ) e. Top )
5		eqid 2622	. . . . . 6 |- U. R = U. R
6		eqid 2622	. . . . . 6 |- U. S = U. S
7		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Comp /\ S e. Comp ) /\ ( w e. ~P ( R tX S ) /\ U. ( R tX S ) = U. w ) ) -> R e. Comp )
8		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Comp /\ S e. Comp ) /\ ( w e. ~P ( R tX S ) /\ U. ( R tX S ) = U. w ) ) -> S e. Comp )
9		elpwi 4168	. . . . . . 7 |- ( w e. ~P ( R tX S ) -> w C_ ( R tX S ) )
10	9	ad2antrl 764	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Comp /\ S e. Comp ) /\ ( w e. ~P ( R tX S ) /\ U. ( R tX S ) = U. w ) ) -> w C_ ( R tX S ) )
11	5, 6	txuni 21395	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( U. R X. U. S ) = U. ( R tX S ) )
12	1, 2, 11	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Comp /\ S e. Comp ) -> ( U. R X. U. S ) = U. ( R tX S ) )
13	12	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Comp /\ S e. Comp ) /\ ( w e. ~P ( R tX S ) /\ U. ( R tX S ) = U. w ) ) -> ( U. R X. U. S ) = U. ( R tX S ) )
14		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Comp /\ S e. Comp ) /\ ( w e. ~P ( R tX S ) /\ U. ( R tX S ) = U. w ) ) -> U. ( R tX S ) = U. w )
15	13, 14	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Comp /\ S e. Comp ) /\ ( w e. ~P ( R tX S ) /\ U. ( R tX S ) = U. w ) ) -> ( U. R X. U. S ) = U. w )
16	5, 6, 7, 8, 10, 15	txcmplem2 21445	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Comp /\ S e. Comp ) /\ ( w e. ~P ( R tX S ) /\ U. ( R tX S ) = U. w ) ) -> E. v e. ( ~P w i^i Fin ) ( U. R X. U. S ) = U. v )
17	13	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Comp /\ S e. Comp ) /\ ( w e. ~P ( R tX S ) /\ U. ( R tX S ) = U. w ) ) -> ( ( U. R X. U. S ) = U. v <-> U. ( R tX S ) = U. v ) )
18	17	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Comp /\ S e. Comp ) /\ ( w e. ~P ( R tX S ) /\ U. ( R tX S ) = U. w ) ) -> ( E. v e. ( ~P w i^i Fin ) ( U. R X. U. S ) = U. v <-> E. v e. ( ~P w i^i Fin ) U. ( R tX S ) = U. v ) )
19	16, 18	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ( R e. Comp /\ S e. Comp ) /\ ( w e. ~P ( R tX S ) /\ U. ( R tX S ) = U. w ) ) -> E. v e. ( ~P w i^i Fin ) U. ( R tX S ) = U. v )
20	19	expr 643	. . 3 |- ( ( ( R e. Comp /\ S e. Comp ) /\ w e. ~P ( R tX S ) ) -> ( U. ( R tX S ) = U. w -> E. v e. ( ~P w i^i Fin ) U. ( R tX S ) = U. v ) )
21	20	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( R e. Comp /\ S e. Comp ) -> A. w e. ~P ( R tX S ) ( U. ( R tX S ) = U. w -> E. v e. ( ~P w i^i Fin ) U. ( R tX S ) = U. v ) )
22		eqid 2622	. . 3 |- U. ( R tX S ) = U. ( R tX S )
23	22	iscmp 21191	. 2 |- ( ( R tX S ) e. Comp <-> ( ( R tX S ) e. Top /\ A. w e. ~P ( R tX S ) ( U. ( R tX S ) = U. w -> E. v e. ( ~P w i^i Fin ) U. ( R tX S ) = U. v ) ) )
24	4, 21, 23	sylanbrc 698	1 |- ( ( R e. Comp /\ S e. Comp ) -> ( R tX S ) e. Comp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   X. cxp 5112  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   Topctop 20698   Compccmp 21189   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-tx 21365

This theorem is referenced by:  txcmpb  21447  txkgen  21455  ptcmpfi  21616  xkohmeo  21618  cnheiborlem  22753