Theorem zaddcld 11486

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	|- ( ph -> ( A + B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zaddcl 11417	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A + B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 |- ( ph -> ( A + B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   + caddc 9939   ZZcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by:  zadd2cl  11490  qaddcl  11804  elincfzoext  12525  eluzgtdifelfzo  12529  fladdz  12626  seqshft2  12827  expaddzlem  12903  sqoddm1div8  13028  ccatass  13371  lswccatn0lsw  13373  cshf1  13556  2cshw  13559  2cshwcshw  13571  fsumrev2  14514  isumshft  14571  divcnvshft  14587  dvds2ln  15014  sadadd3  15183  sadaddlem  15188  sadadd  15189  bezoutlem4  15259  lcmgcdlem  15319  divgcdcoprm0  15379  hashdvds  15480  pythagtriplem4  15524  pythagtriplem11  15530  pcaddlem  15592  gzmulcl  15642  4sqlem8  15649  4sqlem10  15651  4sqlem11  15659  4sqlem14  15662  4sqlem16  15664  prmgaplem7  15761  prmgaplem8  15762  gsumccat  17378  mulgdir  17573  mndodconglem  17960  chfacfscmulfsupp  20664  chfacfpmmulfsupp  20668  ulmshftlem  24143  ulmshft  24144  dchrptlem2  24990  lgsqrlem2  25072  lgsquad2lem1  25109  2lgsoddprmlem2  25134  2sqlem4  25146  2sqlem8  25151  crctcshwlkn0lem5  26706  numclwlk2lem2f  27236  ex-ind-dvds  27318  2sqmod  29648  archirngz  29743  archiabllem2c  29749  qqhghm  30032  qqhrhm  30033  fsum2dsub  30685  breprexplemc  30710  divcnvlin  31618  caushft  33557  pell1234qrmulcl  37419  jm2.18  37555  jm2.19lem3  37558  jm2.19lem4  37559  jm2.25  37566  inductionexd  38453  fzisoeu  39514  uzubioo  39794  wallispilem4  40285  etransclem44  40495  gbowgt5  41650  mogoldbb  41673  nnsum4primesevenALTV  41689  2zlidl  41934