Theorem umgrislfupgrlem 26017

Description: Lemma for umgrislfupgr 26018 and usgrislfuspgr 26079. (Contributed by AV, 27-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
umgrislfupgrlem	|- ( { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } i^i { x e. ~P V | 2 <_ ( # ` x ) } ) = { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) = 2 }

Proof of Theorem umgrislfupgrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pos 11112	. . . 4 |- 0 < 2
2		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 < 2 /\ ( x e. ~P V /\ 2 <_ ( # ` x ) ) ) -> x e. ~P V )
3		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = (/) -> ( # ` x ) = ( # ` (/) ) )
4		hash0 13158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( # ` (/) ) = 0
5	3, 4	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = (/) -> ( # ` x ) = 0 )
6	5	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = (/) -> ( 2 <_ ( # ` x ) <-> 2 <_ 0 ) )
7		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. RR
8		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
9	7, 8	lenlti 10157	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 <_ 0 <-> -. 0 < 2 )
10		pm2.21 120	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. 0 < 2 -> ( 0 < 2 -> x =/= (/) ) )
11	9, 10	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 <_ 0 -> ( 0 < 2 -> x =/= (/) ) )
12	6, 11	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( 2 <_ ( # ` x ) -> ( 0 < 2 -> x =/= (/) ) ) )
13	12	adantld 483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> ( ( x e. ~P V /\ 2 <_ ( # ` x ) ) -> ( 0 < 2 -> x =/= (/) ) ) )
14	13	com23 86	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( 0 < 2 -> ( ( x e. ~P V /\ 2 <_ ( # ` x ) ) -> x =/= (/) ) ) )
15	14	impd 447	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( ( 0 < 2 /\ ( x e. ~P V /\ 2 <_ ( # ` x ) ) ) -> x =/= (/) ) )
16		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 |- ( x =/= (/) -> ( ( 0 < 2 /\ ( x e. ~P V /\ 2 <_ ( # ` x ) ) ) -> x =/= (/) ) )
17	15, 16	pm2.61ine 2877	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 < 2 /\ ( x e. ~P V /\ 2 <_ ( # ` x ) ) ) -> x =/= (/) )
18		eldifsn 4317	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ~P V \ { (/) } ) <-> ( x e. ~P V /\ x =/= (/) ) )
19	2, 17, 18	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 < 2 /\ ( x e. ~P V /\ 2 <_ ( # ` x ) ) ) -> x e. ( ~P V \ { (/) } ) )
20		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 < 2 /\ ( x e. ~P V /\ 2 <_ ( # ` x ) ) ) -> 2 <_ ( # ` x ) )
21	19, 20	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( 0 < 2 /\ ( x e. ~P V /\ 2 <_ ( # ` x ) ) ) -> ( x e. ( ~P V \ { (/) } ) /\ 2 <_ ( # ` x ) ) )
22	21	ex 450	. . . . . 6 |- ( 0 < 2 -> ( ( x e. ~P V /\ 2 <_ ( # ` x ) ) -> ( x e. ( ~P V \ { (/) } ) /\ 2 <_ ( # ` x ) ) ) )
23		eldifi 3732	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ~P V \ { (/) } ) -> x e. ~P V )
24	23	anim1i 592	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ~P V \ { (/) } ) /\ 2 <_ ( # ` x ) ) -> ( x e. ~P V /\ 2 <_ ( # ` x ) ) )
25	22, 24	impbid1 215	. . . . 5 |- ( 0 < 2 -> ( ( x e. ~P V /\ 2 <_ ( # ` x ) ) <-> ( x e. ( ~P V \ { (/) } ) /\ 2 <_ ( # ` x ) ) ) )
26	25	rabbidva2 3186	. . . 4 |- ( 0 < 2 -> { x e. ~P V | 2 <_ ( # ` x ) } = { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | 2 <_ ( # ` x ) } )
27	1, 26	ax-mp 5	. . 3 |- { x e. ~P V | 2 <_ ( # ` x ) } = { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | 2 <_ ( # ` x ) }
28	27	ineq2i 3811	. 2 |- ( { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } i^i { x e. ~P V | 2 <_ ( # ` x ) } ) = ( { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } i^i { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | 2 <_ ( # ` x ) } )
29		inrab 3899	. 2 |- ( { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } i^i { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | 2 <_ ( # ` x ) } ) = { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( ( # ` x ) <_ 2 /\ 2 <_ ( # ` x ) ) }
30		vex 3203	. . . . . . . 8 |- x e. _V
31		hashxnn0 13127	. . . . . . . 8 |- ( x e. _V -> ( # ` x ) e. NN0* )
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( # ` x ) e. NN0*
33		xnn0xr 11368	. . . . . . 7 |- ( ( # ` x ) e. NN0* -> ( # ` x ) e. RR* )
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( # ` x ) e. RR*
35	7	rexri 10097	. . . . . 6 |- 2 e. RR*
36		xrletri3 11985	. . . . . 6 |- ( ( ( # ` x ) e. RR* /\ 2 e. RR* ) -> ( ( # ` x ) = 2 <-> ( ( # ` x ) <_ 2 /\ 2 <_ ( # ` x ) ) ) )
37	34, 35, 36	mp2an 708	. . . . 5 |- ( ( # ` x ) = 2 <-> ( ( # ` x ) <_ 2 /\ 2 <_ ( # ` x ) ) )
38	37	bicomi 214	. . . 4 |- ( ( ( # ` x ) <_ 2 /\ 2 <_ ( # ` x ) ) <-> ( # ` x ) = 2 )
39	38	a1i 11	. . 3 |- ( x e. ( ~P V \ { (/) } ) -> ( ( ( # ` x ) <_ 2 /\ 2 <_ ( # ` x ) ) <-> ( # ` x ) = 2 ) )
40	39	rabbiia 3185	. 2 |- { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( ( # ` x ) <_ 2 /\ 2 <_ ( # ` x ) ) } = { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) = 2 }
41	28, 29, 40	3eqtri 2648	1 |- ( { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } i^i { x e. ~P V | 2 <_ ( # ` x ) } ) = { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) = 2 }

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   0cc0 9936   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   2c2 11070  NN0*cxnn0 11363   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  umgrislfupgr  26018  usgrislfuspgr  26079