Theorem vdw 15698

Description: Van der Waerden's theorem. For any finite coloring R and integer K, there is an N such that every coloring function from 1 ... N to R contains a monochromatic arithmetic progression (which written out in full means that there is a color c and base, increment values a , d such that all the numbers a , a + d , ... , a + ( k - 1 ) d lie in the preimage of { c }, i.e. they are all in 1 ... N and f evaluated at each one yields c). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
vdw	|- ( ( R e. Fin /\ K e. NN0 ) -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) E. c e. R E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' f " { c } ) )

Distinct variable groups:   a, c, d, f, m, n, K   R, a, c, d, f, n

Allowed substitution hint:   R( m)

Proof of Theorem vdw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . 3 |- ( ( R e. Fin /\ K e. NN0 ) -> R e. Fin )
2		simpr 477	. . 3 |- ( ( R e. Fin /\ K e. NN0 ) -> K e. NN0 )
3	1, 2	vdwlem13 15697	. 2 |- ( ( R e. Fin /\ K e. NN0 ) -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f )
4		ovex 6678	. . . . 5 |- ( 1 ... n ) e. _V
5		simpllr 799	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. Fin /\ K e. NN0 ) /\ n e. NN ) /\ f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ) -> K e. NN0 )
6		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Fin /\ K e. NN0 ) /\ n e. NN ) -> R e. Fin )
7		elmapg 7870	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Fin /\ ( 1 ... n ) e. _V ) -> ( f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) <-> f : ( 1 ... n ) --> R ) )
8	6, 4, 7	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Fin /\ K e. NN0 ) /\ n e. NN ) -> ( f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) <-> f : ( 1 ... n ) --> R ) )
9	8	biimpa 501	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. Fin /\ K e. NN0 ) /\ n e. NN ) /\ f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ) -> f : ( 1 ... n ) --> R )
10		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Fin /\ K e. NN0 ) /\ n e. NN ) /\ f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ) -> n e. NN )
11		nnuz 11723	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
12	10, 11	syl6eleq 2711	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. Fin /\ K e. NN0 ) /\ n e. NN ) /\ f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
13		eluzfz1 12348	. . . . . 6 |- ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 e. ( 1 ... n ) )
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. Fin /\ K e. NN0 ) /\ n e. NN ) /\ f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ) -> 1 e. ( 1 ... n ) )
15	4, 5, 9, 14	vdwmc2 15683	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. Fin /\ K e. NN0 ) /\ n e. NN ) /\ f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ) -> ( K MonoAP f <-> E. c e. R E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' f " { c } ) ) )
16	15	ralbidva 2985	. . 3 |- ( ( ( R e. Fin /\ K e. NN0 ) /\ n e. NN ) -> ( A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f <-> A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) E. c e. R E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' f " { c } ) ) )
17	16	rexbidva 3049	. 2 |- ( ( R e. Fin /\ K e. NN0 ) -> ( E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f <-> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) E. c e. R E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' f " { c } ) ) )
18	3, 17	mpbid 222	1 |- ( ( R e. Fin /\ K e. NN0 ) -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) E. c e. R E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' f " { c } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   {csn 4177   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   MonoAP cvdwm 15670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-hash 13118  df-vdwap 15672  df-vdwmc 15673  df-vdwpc 15674

This theorem is referenced by:  vdwnnlem1  15699