Theorem vdwlem13 15697

Description: Lemma for vdw 15698. Main induction on K; K = 0, K = 1 base cases. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdw.r	|- ( ph -> R e. Fin )
vdw.k	|- ( ph -> K e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
vdwlem13	|- ( ph -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f )

Distinct variable groups:   ph, n, f   f, K, n   R, f, n   ph, f

Proof of Theorem vdwlem13

Dummy variables a c d g k m x r s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 11765	. . 3 |- ( K e. NN <-> ( K = 1 \/ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
2		vdw.r	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. Fin )
3		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 ... 1 ) e. _V
4		elmapg 7870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Fin /\ ( 1 ... 1 ) e. _V ) -> ( f e. ( R ^m ( 1 ... 1 ) ) <-> f : ( 1 ... 1 ) --> R ) )
5	2, 3, 4	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( f e. ( R ^m ( 1 ... 1 ) ) <-> f : ( 1 ... 1 ) --> R ) )
6	5	biimpa 501	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. ( R ^m ( 1 ... 1 ) ) ) -> f : ( 1 ... 1 ) --> R )
7		1nn 11031	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
8		vdwap1 15681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. NN /\ 1 e. NN ) -> ( 1 (AP ` 1 ) 1 ) = { 1 } )
9	7, 7, 8	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( 1 (AP ` 1 ) 1 ) = { 1 }
10		1z 11407	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ZZ
11		elfz3 12351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. ( 1 ... 1 ) )
12	10, 11	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f : ( 1 ... 1 ) --> R ) -> 1 e. ( 1 ... 1 ) )
13		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f : ( 1 ... 1 ) --> R ) -> ( f ` 1 ) = ( f ` 1 ) )
14		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( 1 ... 1 ) --> R -> f Fn ( 1 ... 1 ) )
15	14	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f : ( 1 ... 1 ) --> R ) -> f Fn ( 1 ... 1 ) )
16		fniniseg 6338	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f Fn ( 1 ... 1 ) -> ( 1 e. ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) <-> ( 1 e. ( 1 ... 1 ) /\ ( f ` 1 ) = ( f ` 1 ) ) ) )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f : ( 1 ... 1 ) --> R ) -> ( 1 e. ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) <-> ( 1 e. ( 1 ... 1 ) /\ ( f ` 1 ) = ( f ` 1 ) ) ) )
18	12, 13, 17	mpbir2and 957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f : ( 1 ... 1 ) --> R ) -> 1 e. ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) )
19	18	snssd 4340	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f : ( 1 ... 1 ) --> R ) -> { 1 } C_ ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) )
20	9, 19	syl5eqss 3649	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f : ( 1 ... 1 ) --> R ) -> ( 1 (AP ` 1 ) 1 ) C_ ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) )
21	6, 20	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. ( R ^m ( 1 ... 1 ) ) ) -> ( 1 (AP ` 1 ) 1 ) C_ ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) )
22	21	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. f e. ( R ^m ( 1 ... 1 ) ) ( 1 (AP ` 1 ) 1 ) C_ ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) )
23		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( K = 1 -> (AP ` K ) = (AP ` 1 ) )
24	23	oveqd 6667	. . . . . . . 8 |- ( K = 1 -> ( 1 (AP ` K ) 1 ) = ( 1 (AP ` 1 ) 1 ) )
25	24	sseq1d 3632	. . . . . . 7 |- ( K = 1 -> ( ( 1 (AP ` K ) 1 ) C_ ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) <-> ( 1 (AP ` 1 ) 1 ) C_ ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) ) )
26	25	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( K = 1 -> ( A. f e. ( R ^m ( 1 ... 1 ) ) ( 1 (AP ` K ) 1 ) C_ ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) <-> A. f e. ( R ^m ( 1 ... 1 ) ) ( 1 (AP ` 1 ) 1 ) C_ ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) ) )
27	22, 26	syl5ibrcom 237	. . . . 5 |- ( ph -> ( K = 1 -> A. f e. ( R ^m ( 1 ... 1 ) ) ( 1 (AP ` K ) 1 ) C_ ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) ) )
28		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = 1 -> ( a (AP ` K ) d ) = ( 1 (AP ` K ) d ) )
29	28	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = 1 -> ( ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) <-> ( 1 (AP ` K ) d ) C_ ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) ) )
30		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = 1 -> ( 1 (AP ` K ) d ) = ( 1 (AP ` K ) 1 ) )
31	30	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = 1 -> ( ( 1 (AP ` K ) d ) C_ ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) <-> ( 1 (AP ` K ) 1 ) C_ ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) ) )
32	29, 31	rspc2ev 3324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. NN /\ 1 e. NN /\ ( 1 (AP ` K ) 1 ) C_ ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) ) -> E. a e. NN E. d e. NN ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) )
33	7, 7, 32	mp3an12 1414	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 (AP ` K ) 1 ) C_ ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) -> E. a e. NN E. d e. NN ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) )
34		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( f ` 1 ) e. _V
35		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = ( f ` 1 ) -> { c } = { ( f ` 1 ) } )
36	35	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = ( f ` 1 ) -> ( `' f " { c } ) = ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) )
37	36	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = ( f ` 1 ) -> ( ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' f " { c } ) <-> ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) ) )
38	37	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . 10 |- ( c = ( f ` 1 ) -> ( E. a e. NN E. d e. NN ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' f " { c } ) <-> E. a e. NN E. d e. NN ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) ) )
39	34, 38	spcev 3300	. . . . . . . . 9 |- ( E. a e. NN E. d e. NN ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) -> E. c E. a e. NN E. d e. NN ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' f " { c } ) )
40	33, 39	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 (AP ` K ) 1 ) C_ ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) -> E. c E. a e. NN E. d e. NN ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' f " { c } ) )
41		vdw.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. NN0 )
42	41	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. ( R ^m ( 1 ... 1 ) ) ) -> K e. NN0 )
43	3, 42, 6	vdwmc 15682	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. ( R ^m ( 1 ... 1 ) ) ) -> ( K MonoAP f <-> E. c E. a e. NN E. d e. NN ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' f " { c } ) ) )
44	40, 43	syl5ibr 236	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. ( R ^m ( 1 ... 1 ) ) ) -> ( ( 1 (AP ` K ) 1 ) C_ ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) -> K MonoAP f ) )
45	44	ralimdva 2962	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. f e. ( R ^m ( 1 ... 1 ) ) ( 1 (AP ` K ) 1 ) C_ ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) -> A. f e. ( R ^m ( 1 ... 1 ) ) K MonoAP f ) )
46		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 1 -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... 1 ) )
47	46	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> ( R ^m ( 1 ... n ) ) = ( R ^m ( 1 ... 1 ) ) )
48	47	raleqdv 3144	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f <-> A. f e. ( R ^m ( 1 ... 1 ) ) K MonoAP f ) )
49	48	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ A. f e. ( R ^m ( 1 ... 1 ) ) K MonoAP f ) -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f )
50	7, 49	mpan 706	. . . . . 6 |- ( A. f e. ( R ^m ( 1 ... 1 ) ) K MonoAP f -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f )
51	45, 50	syl6 35	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. f e. ( R ^m ( 1 ... 1 ) ) ( 1 (AP ` K ) 1 ) C_ ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f ) )
52	27, 51	syld 47	. . . 4 |- ( ph -> ( K = 1 -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f ) )
53		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( x = 2 -> ( x MonoAP f <-> 2 MonoAP f ) )
54	53	rexralbidv 3058	. . . . . . 7 |- ( x = 2 -> ( E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) x MonoAP f <-> E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) 2 MonoAP f ) )
55	54	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( x = 2 -> ( A. r e. Fin E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) x MonoAP f <-> A. r e. Fin E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) 2 MonoAP f ) )
56		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( x = k -> ( x MonoAP f <-> k MonoAP f ) )
57	56	rexralbidv 3058	. . . . . . 7 |- ( x = k -> ( E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) x MonoAP f <-> E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) k MonoAP f ) )
58	57	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( A. r e. Fin E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) x MonoAP f <-> A. r e. Fin E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) k MonoAP f ) )
59		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( x MonoAP f <-> ( k + 1 ) MonoAP f ) )
60	59	rexralbidv 3058	. . . . . . 7 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) x MonoAP f <-> E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) ( k + 1 ) MonoAP f ) )
61	60	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( A. r e. Fin E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) x MonoAP f <-> A. r e. Fin E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) ( k + 1 ) MonoAP f ) )
62		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( x = K -> ( x MonoAP f <-> K MonoAP f ) )
63	62	rexralbidv 3058	. . . . . . 7 |- ( x = K -> ( E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) x MonoAP f <-> E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f ) )
64	63	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( x = K -> ( A. r e. Fin E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) x MonoAP f <-> A. r e. Fin E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f ) )
65		hashcl 13147	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. Fin -> ( # ` r ) e. NN0 )
66		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . 10 |- ( ( # ` r ) e. NN0 -> ( ( # ` r ) + 1 ) e. NN )
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( r e. Fin -> ( ( # ` r ) + 1 ) e. NN )
68		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( r e. Fin /\ f e. ( r ^m ( 1 ... ( ( # ` r ) + 1 ) ) ) ) /\ -. 2 MonoAP f ) -> r e. Fin )
69		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( r e. Fin /\ f e. ( r ^m ( 1 ... ( ( # ` r ) + 1 ) ) ) ) /\ -. 2 MonoAP f ) -> f e. ( r ^m ( 1 ... ( ( # ` r ) + 1 ) ) ) )
70		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- r e. _V
71		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... ( ( # ` r ) + 1 ) ) e. _V
72	70, 71	elmap 7886	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( r ^m ( 1 ... ( ( # ` r ) + 1 ) ) ) <-> f : ( 1 ... ( ( # ` r ) + 1 ) ) --> r )
73	69, 72	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( r e. Fin /\ f e. ( r ^m ( 1 ... ( ( # ` r ) + 1 ) ) ) ) /\ -. 2 MonoAP f ) -> f : ( 1 ... ( ( # ` r ) + 1 ) ) --> r )
74		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( r e. Fin /\ f e. ( r ^m ( 1 ... ( ( # ` r ) + 1 ) ) ) ) /\ -. 2 MonoAP f ) -> -. 2 MonoAP f )
75	68, 73, 74	vdwlem12 15696	. . . . . . . . . . 11 |- -. ( ( r e. Fin /\ f e. ( r ^m ( 1 ... ( ( # ` r ) + 1 ) ) ) ) /\ -. 2 MonoAP f )
76		iman 440	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( r e. Fin /\ f e. ( r ^m ( 1 ... ( ( # ` r ) + 1 ) ) ) ) -> 2 MonoAP f ) <-> -. ( ( r e. Fin /\ f e. ( r ^m ( 1 ... ( ( # ` r ) + 1 ) ) ) ) /\ -. 2 MonoAP f ) )
77	75, 76	mpbir 221	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. Fin /\ f e. ( r ^m ( 1 ... ( ( # ` r ) + 1 ) ) ) ) -> 2 MonoAP f )
78	77	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( r e. Fin -> A. f e. ( r ^m ( 1 ... ( ( # ` r ) + 1 ) ) ) 2 MonoAP f )
79		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( ( # ` r ) + 1 ) -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... ( ( # ` r ) + 1 ) ) )
80	79	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( ( # ` r ) + 1 ) -> ( r ^m ( 1 ... n ) ) = ( r ^m ( 1 ... ( ( # ` r ) + 1 ) ) ) )
81	80	raleqdv 3144	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( ( # ` r ) + 1 ) -> ( A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) 2 MonoAP f <-> A. f e. ( r ^m ( 1 ... ( ( # ` r ) + 1 ) ) ) 2 MonoAP f ) )
82	81	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( # ` r ) + 1 ) e. NN /\ A. f e. ( r ^m ( 1 ... ( ( # ` r ) + 1 ) ) ) 2 MonoAP f ) -> E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) 2 MonoAP f )
83	67, 78, 82	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( r e. Fin -> E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) 2 MonoAP f )
84	83	rgen 2922	. . . . . . 7 |- A. r e. Fin E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) 2 MonoAP f
85	84	a1i 11	. . . . . 6 |- ( 2 e. ZZ -> A. r e. Fin E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) 2 MonoAP f )
86		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = s -> ( r ^m ( 1 ... n ) ) = ( s ^m ( 1 ... n ) ) )
87	86	raleqdv 3144	. . . . . . . . . 10 |- ( r = s -> ( A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) k MonoAP f <-> A. f e. ( s ^m ( 1 ... n ) ) k MonoAP f ) )
88	87	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( r = s -> ( E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) k MonoAP f <-> E. n e. NN A. f e. ( s ^m ( 1 ... n ) ) k MonoAP f ) )
89		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... m ) )
90	89	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( s ^m ( 1 ... n ) ) = ( s ^m ( 1 ... m ) ) )
91	90	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( A. f e. ( s ^m ( 1 ... n ) ) k MonoAP f <-> A. f e. ( s ^m ( 1 ... m ) ) k MonoAP f ) )
92		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( k MonoAP f <-> k MonoAP g ) )
93	92	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. f e. ( s ^m ( 1 ... m ) ) k MonoAP f <-> A. g e. ( s ^m ( 1 ... m ) ) k MonoAP g )
94	91, 93	syl6bb 276	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> ( A. f e. ( s ^m ( 1 ... n ) ) k MonoAP f <-> A. g e. ( s ^m ( 1 ... m ) ) k MonoAP g ) )
95	94	cbvrexv 3172	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. NN A. f e. ( s ^m ( 1 ... n ) ) k MonoAP f <-> E. m e. NN A. g e. ( s ^m ( 1 ... m ) ) k MonoAP g )
96	88, 95	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( r = s -> ( E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) k MonoAP f <-> E. m e. NN A. g e. ( s ^m ( 1 ... m ) ) k MonoAP g ) )
97	96	cbvralv 3171	. . . . . . 7 |- ( A. r e. Fin E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) k MonoAP f <-> A. s e. Fin E. m e. NN A. g e. ( s ^m ( 1 ... m ) ) k MonoAP g )
98		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ r e. Fin ) /\ A. s e. Fin E. m e. NN A. g e. ( s ^m ( 1 ... m ) ) k MonoAP g ) -> r e. Fin )
99		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ r e. Fin ) /\ A. s e. Fin E. m e. NN A. g e. ( s ^m ( 1 ... m ) ) k MonoAP g ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
100		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ r e. Fin ) /\ A. s e. Fin E. m e. NN A. g e. ( s ^m ( 1 ... m ) ) k MonoAP g ) -> A. s e. Fin E. m e. NN A. g e. ( s ^m ( 1 ... m ) ) k MonoAP g )
101	95	ralbii 2980	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. s e. Fin E. n e. NN A. f e. ( s ^m ( 1 ... n ) ) k MonoAP f <-> A. s e. Fin E. m e. NN A. g e. ( s ^m ( 1 ... m ) ) k MonoAP g )
102	100, 101	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ r e. Fin ) /\ A. s e. Fin E. m e. NN A. g e. ( s ^m ( 1 ... m ) ) k MonoAP g ) -> A. s e. Fin E. n e. NN A. f e. ( s ^m ( 1 ... n ) ) k MonoAP f )
103	98, 99, 102	vdwlem11 15695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ r e. Fin ) /\ A. s e. Fin E. m e. NN A. g e. ( s ^m ( 1 ... m ) ) k MonoAP g ) -> E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) ( k + 1 ) MonoAP f )
104	103	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ r e. Fin ) -> ( A. s e. Fin E. m e. NN A. g e. ( s ^m ( 1 ... m ) ) k MonoAP g -> E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) ( k + 1 ) MonoAP f ) )
105	104	ralrimdva 2969	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. s e. Fin E. m e. NN A. g e. ( s ^m ( 1 ... m ) ) k MonoAP g -> A. r e. Fin E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) ( k + 1 ) MonoAP f ) )
106	97, 105	syl5bi 232	. . . . . 6 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. r e. Fin E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) k MonoAP f -> A. r e. Fin E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) ( k + 1 ) MonoAP f ) )
107	55, 58, 61, 64, 85, 106	uzind4 11746	. . . . 5 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A. r e. Fin E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f )
108		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( r ^m ( 1 ... n ) ) = ( R ^m ( 1 ... n ) ) )
109	108	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f <-> A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f ) )
110	109	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f <-> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f ) )
111	110	rspcv 3305	. . . . 5 |- ( R e. Fin -> ( A. r e. Fin E. n e. NN A. f e. ( r ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f ) )
112	2, 107, 111	syl2im 40	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f ) )
113	52, 112	jaod 395	. . 3 |- ( ph -> ( ( K = 1 \/ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f ) )
114	1, 113	syl5bi 232	. 2 |- ( ph -> ( K e. NN -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f ) )
115		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( K = 0 -> (AP ` K ) = (AP ` 0 ) )
116	115	oveqd 6667	. . . . . 6 |- ( K = 0 -> ( 1 (AP ` K ) 1 ) = ( 1 (AP ` 0 ) 1 ) )
117		vdwap0 15680	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ 1 e. NN ) -> ( 1 (AP ` 0 ) 1 ) = (/) )
118	7, 7, 117	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( 1 (AP ` 0 ) 1 ) = (/)
119	116, 118	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( K = 0 -> ( 1 (AP ` K ) 1 ) = (/) )
120		0ss 3972	. . . . 5 |- (/) C_ ( `' f " { ( f ` 1 ) } )
121	119, 120	syl6eqss 3655	. . . 4 |- ( K = 0 -> ( 1 (AP ` K ) 1 ) C_ ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) )
122	121	ralrimivw 2967	. . 3 |- ( K = 0 -> A. f e. ( R ^m ( 1 ... 1 ) ) ( 1 (AP ` K ) 1 ) C_ ( `' f " { ( f ` 1 ) } ) )
123	122, 51	syl5 34	. 2 |- ( ph -> ( K = 0 -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f ) )
124		elnn0 11294	. . 3 |- ( K e. NN0 <-> ( K e. NN \/ K = 0 ) )
125	41, 124	sylib 208	. 2 |- ( ph -> ( K e. NN \/ K = 0 ) )
126	114, 123, 125	mpjaod 396	1 |- ( ph -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   #chash 13117  APcvdwa 15669   MonoAP cvdwm 15670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-hash 13118  df-vdwap 15672  df-vdwmc 15673  df-vdwpc 15674

This theorem is referenced by:  vdw  15698