Theorem vdwapid1 15679

Description: The first element of an arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
vdwapid1	|- ( ( K e. NN /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> A e. ( A (AP ` K ) D ) )

Proof of Theorem vdwapid1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 3776	. . 3 |- { A } C_ ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` ( K - 1 ) ) D ) )
2		snssg 4327	. . . 4 |- ( A e. NN -> ( A e. ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` ( K - 1 ) ) D ) ) <-> { A } C_ ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` ( K - 1 ) ) D ) ) ) )
3	2	3ad2ant2 1083	. . 3 |- ( ( K e. NN /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A e. ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` ( K - 1 ) ) D ) ) <-> { A } C_ ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` ( K - 1 ) ) D ) ) ) )
4	1, 3	mpbiri 248	. 2 |- ( ( K e. NN /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> A e. ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` ( K - 1 ) ) D ) ) )
5		nncn 11028	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> K e. CC )
6	5	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> K e. CC )
7		ax-1cn 9994	. . . . . 6 |- 1 e. CC
8		npcan 10290	. . . . . 6 |- ( ( K e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
9	6, 7, 8	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( K e. NN /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
10	9	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( K e. NN /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> (AP ` ( ( K - 1 ) + 1 ) ) = (AP ` K ) )
11	10	oveqd 6667	. . 3 |- ( ( K e. NN /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A (AP ` ( ( K - 1 ) + 1 ) ) D ) = ( A (AP ` K ) D ) )
12		nnm1nn0 11334	. . . 4 |- ( K e. NN -> ( K - 1 ) e. NN0 )
13		vdwapun 15678	. . . 4 |- ( ( ( K - 1 ) e. NN0 /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A (AP ` ( ( K - 1 ) + 1 ) ) D ) = ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` ( K - 1 ) ) D ) ) )
14	12, 13	syl3an1 1359	. . 3 |- ( ( K e. NN /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A (AP ` ( ( K - 1 ) + 1 ) ) D ) = ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` ( K - 1 ) ) D ) ) )
15	11, 14	eqtr3d 2658	. 2 |- ( ( K e. NN /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> ( A (AP ` K ) D ) = ( { A } u. ( ( A + D ) (AP ` ( K - 1 ) ) D ) ) )
16	4, 15	eleqtrrd 2704	1 |- ( ( K e. NN /\ A e. NN /\ D e. NN ) -> A e. ( A (AP ` K ) D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292  APcvdwa 15669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-vdwap 15672

This theorem is referenced by:  vdwmc2  15683  vdwlem5  15689  vdwlem6  15690  vdwlem8  15692  vdwlem9  15693  vdwlem11  15695