Theorem vdwlem11 15695

Description: Lemma for vdw 15698. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdw.r	|- ( ph -> R e. Fin )
vdwlem9.k	|- ( ph -> K e. ( ZZ>= ` 2 ) )
vdwlem9.s	|- ( ph -> A. s e. Fin E. n e. NN A. f e. ( s ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f )

Assertion

Ref	Expression
vdwlem11	|- ( ph -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( K + 1 ) MonoAP f )

Distinct variable groups:   ph, n, f   f, s, K, n   R, f, n, s   ph, f

Allowed substitution hint:   ph( s)

Proof of Theorem vdwlem11

Dummy variables a d i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdw.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Fin )
2		vdwlem9.k	. . 3 |- ( ph -> K e. ( ZZ>= ` 2 ) )
3		vdwlem9.s	. . 3 |- ( ph -> A. s e. Fin E. n e. NN A. f e. ( s ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f )
4		hashcl 13147	. . . . 5 |- ( R e. Fin -> ( # ` R ) e. NN0 )
5	1, 4	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` R ) e. NN0 )
6		nn0p1nn 11332	. . . 4 |- ( ( # ` R ) e. NN0 -> ( ( # ` R ) + 1 ) e. NN )
7	5, 6	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` R ) + 1 ) e. NN )
8	1, 2, 3, 7	vdwlem10 15694	. 2 |- ( ph -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. ( ( # ` R ) + 1 ) , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) )
9	1	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> R e. Fin )
10		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( 1 ... n ) e. _V
11		elmapg 7870	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Fin /\ ( 1 ... n ) e. _V ) -> ( f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) <-> f : ( 1 ... n ) --> R ) )
12	9, 10, 11	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) <-> f : ( 1 ... n ) --> R ) )
13	12	biimpa 501	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ) -> f : ( 1 ... n ) --> R )
14	5	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( # ` R ) e. RR )
15	14	ltp1d 10954	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( # ` R ) < ( ( # ` R ) + 1 ) )
16		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` R ) e. RR -> ( ( # ` R ) + 1 ) e. RR )
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( # ` R ) + 1 ) e. RR )
18	14, 17	ltnled 10184	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( # ` R ) < ( ( # ` R ) + 1 ) <-> -. ( ( # ` R ) + 1 ) <_ ( # ` R ) ) )
19	15, 18	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. ( ( # ` R ) + 1 ) <_ ( # ` R ) )
20	19	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) -> -. ( ( # ` R ) + 1 ) <_ ( # ` R ) )
21		eluz2nn 11726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) -> K e. NN )
22	2, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K e. NN )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) -> K e. NN )
24	23	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) -> K e. NN0 )
25		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) -> f : ( 1 ... n ) --> R )
26	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) -> ( ( # ` R ) + 1 ) e. NN )
27		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) = ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) )
28	10, 24, 25, 26, 27	vdwpc 15684	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) -> ( <. ( ( # ` R ) + 1 ) , K >. PolyAP f <-> E. a e. NN E. d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ( A. i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ( ( a + ( d ` i ) ) (AP ` K ) ( d ` i ) ) C_ ( `' f " { ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) } ) /\ ( # ` ran ( i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) |-> ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) ) ) = ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) )
29	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) /\ ( a e. NN /\ d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ( ( a + ( d ` i ) ) (AP ` K ) ( d ` i ) ) C_ ( `' f " { ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) } ) ) -> R e. Fin )
30	25	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) /\ ( a e. NN /\ d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) -> f : ( 1 ... n ) --> R )
31		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) /\ ( a e. NN /\ d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) /\ ( ( a + ( d ` i ) ) (AP ` K ) ( d ` i ) ) C_ ( `' f " { ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) } ) ) -> ( ( a + ( d ` i ) ) (AP ` K ) ( d ` i ) ) C_ ( `' f " { ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) } ) )
32		cnvimass 5485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( `' f " { ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) } ) C_ dom f
33	31, 32	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) /\ ( a e. NN /\ d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) /\ ( ( a + ( d ` i ) ) (AP ` K ) ( d ` i ) ) C_ ( `' f " { ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) } ) ) -> ( ( a + ( d ` i ) ) (AP ` K ) ( d ` i ) ) C_ dom f )
34	25	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) /\ ( a e. NN /\ d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) /\ ( ( a + ( d ` i ) ) (AP ` K ) ( d ` i ) ) C_ ( `' f " { ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) } ) ) -> f : ( 1 ... n ) --> R )
35		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f : ( 1 ... n ) --> R -> dom f = ( 1 ... n ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) /\ ( a e. NN /\ d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) /\ ( ( a + ( d ` i ) ) (AP ` K ) ( d ` i ) ) C_ ( `' f " { ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) } ) ) -> dom f = ( 1 ... n ) )
37	33, 36	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) /\ ( a e. NN /\ d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) /\ ( ( a + ( d ` i ) ) (AP ` K ) ( d ` i ) ) C_ ( `' f " { ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) } ) ) -> ( ( a + ( d ` i ) ) (AP ` K ) ( d ` i ) ) C_ ( 1 ... n ) )
38	22	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) /\ ( a e. NN /\ d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) -> K e. NN )
39		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) /\ ( a e. NN /\ d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) -> a e. NN )
40		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) /\ ( a e. NN /\ d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) ) -> d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) )
41		nnex 11026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- NN e. _V
42		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) e. _V
43	41, 42	elmap 7886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) <-> d : ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) --> NN )
44	40, 43	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) /\ ( a e. NN /\ d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) ) -> d : ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) --> NN )
45	44	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) /\ ( a e. NN /\ d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) -> ( d ` i ) e. NN )
46	39, 45	nnaddcld 11067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) /\ ( a e. NN /\ d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) -> ( a + ( d ` i ) ) e. NN )
47		vdwapid1 15679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( K e. NN /\ ( a + ( d ` i ) ) e. NN /\ ( d ` i ) e. NN ) -> ( a + ( d ` i ) ) e. ( ( a + ( d ` i ) ) (AP ` K ) ( d ` i ) ) )
48	38, 46, 45, 47	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) /\ ( a e. NN /\ d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) -> ( a + ( d ` i ) ) e. ( ( a + ( d ` i ) ) (AP ` K ) ( d ` i ) ) )
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) /\ ( a e. NN /\ d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) /\ ( ( a + ( d ` i ) ) (AP ` K ) ( d ` i ) ) C_ ( `' f " { ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) } ) ) -> ( a + ( d ` i ) ) e. ( ( a + ( d ` i ) ) (AP ` K ) ( d ` i ) ) )
50	37, 49	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) /\ ( a e. NN /\ d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) /\ ( ( a + ( d ` i ) ) (AP ` K ) ( d ` i ) ) C_ ( `' f " { ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) } ) ) -> ( a + ( d ` i ) ) e. ( 1 ... n ) )
51	50	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) /\ ( a e. NN /\ d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( a + ( d ` i ) ) (AP ` K ) ( d ` i ) ) C_ ( `' f " { ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) } ) -> ( a + ( d ` i ) ) e. ( 1 ... n ) ) )
52		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f : ( 1 ... n ) --> R /\ ( a + ( d ` i ) ) e. ( 1 ... n ) ) -> ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) e. R )
53	30, 51, 52	syl6an 568	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) /\ ( a e. NN /\ d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( a + ( d ` i ) ) (AP ` K ) ( d ` i ) ) C_ ( `' f " { ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) } ) -> ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) e. R ) )
54	53	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) /\ ( a e. NN /\ d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) ) -> ( A. i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ( ( a + ( d ` i ) ) (AP ` K ) ( d ` i ) ) C_ ( `' f " { ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) } ) -> A. i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) e. R ) )
55	54	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) /\ ( a e. NN /\ d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ( ( a + ( d ` i ) ) (AP ` K ) ( d ` i ) ) C_ ( `' f " { ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) } ) ) -> A. i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) e. R )
56		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) |-> ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) ) = ( i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) |-> ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) )
57	56	fmpt 6381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) e. R <-> ( i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) |-> ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) ) : ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) --> R )
58	55, 57	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) /\ ( a e. NN /\ d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ( ( a + ( d ` i ) ) (AP ` K ) ( d ` i ) ) C_ ( `' f " { ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) } ) ) -> ( i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) |-> ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) ) : ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) --> R )
59		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) |-> ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) ) : ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) --> R -> ran ( i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) |-> ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) ) C_ R )
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) /\ ( a e. NN /\ d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ( ( a + ( d ` i ) ) (AP ` K ) ( d ` i ) ) C_ ( `' f " { ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) } ) ) -> ran ( i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) |-> ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) ) C_ R )
61		ssdomg 8001	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. Fin -> ( ran ( i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) |-> ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) ) C_ R -> ran ( i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) |-> ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) ) ~<_ R ) )
62	29, 60, 61	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) /\ ( a e. NN /\ d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ( ( a + ( d ` i ) ) (AP ` K ) ( d ` i ) ) C_ ( `' f " { ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) } ) ) -> ran ( i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) |-> ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) ) ~<_ R )
63		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. Fin /\ ran ( i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) |-> ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) ) C_ R ) -> ran ( i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) |-> ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) ) e. Fin )
64	29, 60, 63	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) /\ ( a e. NN /\ d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ( ( a + ( d ` i ) ) (AP ` K ) ( d ` i ) ) C_ ( `' f " { ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) } ) ) -> ran ( i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) |-> ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) ) e. Fin )
65		hashdom 13168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ran ( i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) |-> ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) ) e. Fin /\ R e. Fin ) -> ( ( # ` ran ( i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) |-> ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) ) ) <_ ( # ` R ) <-> ran ( i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) |-> ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) ) ~<_ R ) )
66	64, 29, 65	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) /\ ( a e. NN /\ d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ( ( a + ( d ` i ) ) (AP ` K ) ( d ` i ) ) C_ ( `' f " { ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) } ) ) -> ( ( # ` ran ( i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) |-> ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) ) ) <_ ( # ` R ) <-> ran ( i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) |-> ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) ) ~<_ R ) )
67	62, 66	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) /\ ( a e. NN /\ d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ( ( a + ( d ` i ) ) (AP ` K ) ( d ` i ) ) C_ ( `' f " { ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) } ) ) -> ( # ` ran ( i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) |-> ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) ) ) <_ ( # ` R ) )
68		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` ran ( i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) |-> ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) ) ) = ( ( # ` R ) + 1 ) -> ( ( # ` ran ( i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) |-> ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) ) ) <_ ( # ` R ) <-> ( ( # ` R ) + 1 ) <_ ( # ` R ) ) )
69	67, 68	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) /\ ( a e. NN /\ d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ( ( a + ( d ` i ) ) (AP ` K ) ( d ` i ) ) C_ ( `' f " { ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) } ) ) -> ( ( # ` ran ( i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) |-> ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) ) ) = ( ( # ` R ) + 1 ) -> ( ( # ` R ) + 1 ) <_ ( # ` R ) ) )
70	69	expimpd 629	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) /\ ( a e. NN /\ d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) ) -> ( ( A. i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ( ( a + ( d ` i ) ) (AP ` K ) ( d ` i ) ) C_ ( `' f " { ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) } ) /\ ( # ` ran ( i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) |-> ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) ) ) = ( ( # ` R ) + 1 ) ) -> ( ( # ` R ) + 1 ) <_ ( # ` R ) ) )
71	70	rexlimdvva 3038	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) -> ( E. a e. NN E. d e. ( NN ^m ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ( A. i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ( ( a + ( d ` i ) ) (AP ` K ) ( d ` i ) ) C_ ( `' f " { ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) } ) /\ ( # ` ran ( i e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) |-> ( f ` ( a + ( d ` i ) ) ) ) ) = ( ( # ` R ) + 1 ) ) -> ( ( # ` R ) + 1 ) <_ ( # ` R ) ) )
72	28, 71	sylbid 230	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) -> ( <. ( ( # ` R ) + 1 ) , K >. PolyAP f -> ( ( # ` R ) + 1 ) <_ ( # ` R ) ) )
73	20, 72	mtod 189	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) -> -. <. ( ( # ` R ) + 1 ) , K >. PolyAP f )
74		biorf 420	. . . . . . 7 |- ( -. <. ( ( # ` R ) + 1 ) , K >. PolyAP f -> ( ( K + 1 ) MonoAP f <-> ( <. ( ( # ` R ) + 1 ) , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
75	73, 74	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) ) -> ( ( K + 1 ) MonoAP f <-> ( <. ( ( # ` R ) + 1 ) , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
76	75	anassrs 680	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ f : ( 1 ... n ) --> R ) -> ( ( K + 1 ) MonoAP f <-> ( <. ( ( # ` R ) + 1 ) , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
77	13, 76	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ) -> ( ( K + 1 ) MonoAP f <-> ( <. ( ( # ` R ) + 1 ) , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
78	77	ralbidva 2985	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( K + 1 ) MonoAP f <-> A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. ( ( # ` R ) + 1 ) , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
79	78	rexbidva 3049	. 2 |- ( ph -> ( E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( K + 1 ) MonoAP f <-> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. ( ( # ` R ) + 1 ) , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
80	8, 79	mpbird 247	1 |- ( ph -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( K + 1 ) MonoAP f )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   #chash 13117  APcvdwa 15669   MonoAP cvdwm 15670   PolyAP cvdwp 15671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-hash 13118  df-vdwap 15672  df-vdwmc 15673  df-vdwpc 15674

This theorem is referenced by:  vdwlem13  15697