Theorem npcan1 10455

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	|- ( A e. CC -> ( ( A - 1 ) + 1 ) = A )

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 |- ( A e. CC -> A e. CC )
2		1cnd 10056	. 2 |- ( A e. CC -> 1 e. CC )
3	1, 2	npcand 10396	1 |- ( A e. CC -> ( ( A - 1 ) + 1 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268

This theorem is referenced by:  elnnnn0  11336  fzm1  12420  fzosplitprm1  12578  modm1p1mod0  12721  facnn2  13069  cshimadifsn0  13576  mod2eq1n2dvds  15071  zob  15083  pwp1fsum  15114  prmonn2  15743  cpmadugsumlemF  20681  axlowdimlem13  25834  wlk1walk  26535  wlkdlem2  26580  clwwlkinwwlk  26905  wwlksubclwwlks  26925  eucrct2eupth  27105  frrusgrord0  27204  clwwlksnwwlksn  27209  poimirlem1  33410  poimirlem2  33411  poimirlem6  33415  poimirlem7  33416  poimirlem8  33417  poimirlem9  33418  poimirlem10  33419  poimirlem11  33420  poimirlem12  33421  poimirlem13  33422  poimirlem14  33423  poimirlem15  33424  poimirlem16  33425  poimirlem17  33426  poimirlem18  33427  poimirlem19  33428  poimirlem20  33429  poimirlem21  33430  poimirlem22  33431  poimirlem23  33432  poimirlem24  33433  poimirlem26  33435  poimirlem27  33436  poimirlem31  33440  poimirlem32  33441  trclfvdecomr  38020  m1mod0mod1  41339  iccpartgtprec  41356  sqrtpwpw2p  41450  fmtnorec2lem  41454  fmtnodvds  41456  fmtnorec3  41460  fmtnorec4  41461  pwdif  41501  lighneallem3  41524  lighneallem4  41527  dfodd6  41550  evenm1odd  41552  m1expoddALTV  41561  zofldiv2ALTV  41574  oddflALTV  41575  nn0onn0exALTV  41609  bgoldbtbndlem2  41694  bcpascm1  42129  altgsumbcALT  42131  nn0onn0ex  42318  zofldiv2  42325  logbpw2m1  42361  blenpw2m1  42373  nnolog2flm1  42384  blennngt2o2  42386  blengt1fldiv2p1  42387  blennn0e2  42388