Theorem wrdl2exs2 13690

Description: A word of length 2 is a doubleton word. (Contributed by AV, 25-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wrdl2exs2	|- ( ( W e. Word S /\ ( # ` W ) = 2 ) -> E. s e. S E. t e. S W = <" s t "> )

Distinct variable groups:   S, s, t   W, s, t

Proof of Theorem wrdl2exs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1le2 11241	. . . 4 |- 1 <_ 2
2		breq2 4657	. . . 4 |- ( ( # ` W ) = 2 -> ( 1 <_ ( # ` W ) <-> 1 <_ 2 ) )
3	1, 2	mpbiri 248	. . 3 |- ( ( # ` W ) = 2 -> 1 <_ ( # ` W ) )
4		wrdsymb1 13342	. . 3 |- ( ( W e. Word S /\ 1 <_ ( # ` W ) ) -> ( W ` 0 ) e. S )
5	3, 4	sylan2 491	. 2 |- ( ( W e. Word S /\ ( # ` W ) = 2 ) -> ( W ` 0 ) e. S )
6		lsw 13351	. . . 4 |- ( W e. Word S -> ( lastS ` W ) = ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) )
7		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( ( # ` W ) = 2 -> ( ( # ` W ) - 1 ) = ( 2 - 1 ) )
8		2m1e1 11135	. . . . . 6 |- ( 2 - 1 ) = 1
9	7, 8	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ( # ` W ) = 2 -> ( ( # ` W ) - 1 ) = 1 )
10	9	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( # ` W ) = 2 -> ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) = ( W ` 1 ) )
11	6, 10	sylan9eq 2676	. . 3 |- ( ( W e. Word S /\ ( # ` W ) = 2 ) -> ( lastS ` W ) = ( W ` 1 ) )
12		2nn 11185	. . . 4 |- 2 e. NN
13		lswlgt0cl 13356	. . . 4 |- ( ( 2 e. NN /\ ( W e. Word S /\ ( # ` W ) = 2 ) ) -> ( lastS ` W ) e. S )
14	12, 13	mpan 706	. . 3 |- ( ( W e. Word S /\ ( # ` W ) = 2 ) -> ( lastS ` W ) e. S )
15	11, 14	eqeltrrd 2702	. 2 |- ( ( W e. Word S /\ ( # ` W ) = 2 ) -> ( W ` 1 ) e. S )
16		wrdlen2s2 13689	. 2 |- ( ( W e. Word S /\ ( # ` W ) = 2 ) -> W = <" ( W ` 0 ) ( W ` 1 ) "> )
17		id 22	. . . . 5 |- ( s = ( W ` 0 ) -> s = ( W ` 0 ) )
18		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( s = ( W ` 0 ) -> t = t )
19	17, 18	s2eqd 13608	. . . 4 |- ( s = ( W ` 0 ) -> <" s t "> = <" ( W ` 0 ) t "> )
20	19	eqeq2d 2632	. . 3 |- ( s = ( W ` 0 ) -> ( W = <" s t "> <-> W = <" ( W ` 0 ) t "> ) )
21		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( t = ( W ` 1 ) -> ( W ` 0 ) = ( W ` 0 ) )
22		id 22	. . . . 5 |- ( t = ( W ` 1 ) -> t = ( W ` 1 ) )
23	21, 22	s2eqd 13608	. . . 4 |- ( t = ( W ` 1 ) -> <" ( W ` 0 ) t "> = <" ( W ` 0 ) ( W ` 1 ) "> )
24	23	eqeq2d 2632	. . 3 |- ( t = ( W ` 1 ) -> ( W = <" ( W ` 0 ) t "> <-> W = <" ( W ` 0 ) ( W ` 1 ) "> ) )
25	20, 24	rspc2ev 3324	. 2 |- ( ( ( W ` 0 ) e. S /\ ( W ` 1 ) e. S /\ W = <" ( W ` 0 ) ( W ` 1 ) "> ) -> E. s e. S E. t e. S W = <" s t "> )
26	5, 15, 16, 25	syl3anc 1326	1 |- ( ( W e. Word S /\ ( # ` W ) = 2 ) -> E. s e. S E. t e. S W = <" s t "> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   #chash 13117  Word cword 13291   lastS clsw 13292   <"cs2 13586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593

This theorem is referenced by: (None)