xrofsup - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem xrofsup 29533

Description: The supremum is preserved by extended addition set operation. (Provided minus infinity is not involved as it does not behave well with addition.) (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Mar-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
xrofsup.1
xrofsup.2
xrofsup.3
xrofsup.4
xrofsup.5

**Assertion**
Ref	Expression
xrofsup

Proof of Theorem xrofsup Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrofsup.5	. . 3
2		xrofsup.1	. . . . . . . . . 10
3	2	sseld 3602	. . . . . . . . 9
4		xrofsup.2	. . . . . . . . . 10
5	4	sseld 3602	. . . . . . . . 9
6	3, 5	anim12d 586	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
7	6	imp 445	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
8		xaddcl 12070	. . . . . . 7 $/\$
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 $/\$ $/\$
10	9	ralrimivva 2971	. . . . 5
11		fveq2 6191	. . . . . . . 8
12		df-ov 6653	. . . . . . . 8
13	11, 12	syl6eqr 2674	. . . . . . 7
14	13	eleq1d 2686	. . . . . 6
15	14	ralxp 5263	. . . . 5
16	10, 15	sylibr 224	. . . 4
17		xaddf 12055	. . . . . 6
18		ffun 6048	. . . . . 6
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5
20		xpss12 5225	. . . . . . 7 $/\$
21	2, 4, 20	syl2anc 693	. . . . . 6
22	17	fdmi 6052	. . . . . 6
23	21, 22	syl6sseqr 3652	. . . . 5
24		funimass4 6247	. . . . 5 $/\$
25	19, 23, 24	sylancr 695	. . . 4
26	16, 25	mpbird 247	. . 3
27	1, 26	eqsstrd 3639	. 2
28		supxrcl 12145	. . . 4
29	2, 28	syl 17	. . 3
30		supxrcl 12145	. . . 4
31	4, 30	syl 17	. . 3
32	29, 31	xaddcld 12131	. 2
33	1	eleq2d 2687	. . . . 5
34	33	pm5.32i 669	. . . 4 $/\$ $/\$
35		nfvd 1844	. . . . 5 $/\$
36		nfvd 1844	. . . . 5 $/\$
37	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
38		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
39		supxrub 12154	. . . . . . . . . . 11 $/\$
40	37, 38, 39	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
41	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
42		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
43		supxrub 12154	. . . . . . . . . . 11 $/\$
44	41, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
45	37, 38	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
46	41, 42	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
47	37, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
48	41, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
49		xle2add 12089	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	45, 46, 47, 48, 49	syl22anc 1327	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	40, 44, 50	mp2and 715	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
52	51	ralrimivva 2971	. . . . . . . 8 $/\$
53		fvelima 6248	. . . . . . . . . . 11 $/\$
54	19, 53	mpan 706	. . . . . . . . . 10
55	54	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$
56	13	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10
57	56	rexxp 5264	. . . . . . . . 9
58	55, 57	sylib 208	. . . . . . . 8 $/\$
59	52, 58	r19.29d2r 3080	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
60		ancom 466	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
61	60	2rexbii 3042	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
62	59, 61	sylib 208	. . . . . 6 $/\$ $/\$
63		breq1 4656	. . . . . . . . 9
64	63	biimpa 501	. . . . . . . 8 $/\$
65	64	reximi 3011	. . . . . . 7 $/\$
66	65	reximi 3011	. . . . . 6 $/\$
67	62, 66	syl 17	. . . . 5 $/\$
68	35, 36, 67	19.9d2r 29319	. . . 4 $/\$
69	34, 68	sylbi 207	. . 3 $/\$
70	69	ralrimiva 2966	. 2
71	2	ad2antrr 762	. . . . . 6 $/\$ $/\$
72	4	ad2antrr 762	. . . . . 6 $/\$ $/\$
73		simplr 792	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
74	29	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
75	31	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
76		xrofsup.3	. . . . . . . 8
77	76	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
78		xrofsup.4	. . . . . . . 8
79	78	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
80		simpr 477	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
81	73, 74, 75, 77, 79, 80	xlt2addrd 29523	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82		nfv 1843	. . . . . . . 8 $/\$
83		nfcv 2764	. . . . . . . . 9
84		nfre1 3005	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
85	83, 84	nfrex 3007	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
86	82, 85	nfan 1828	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87		nfvd 1844	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		nfvd 1844	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89		id 22	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
90	89	ralrimivw 2967	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
91	90	ralrimivw 2967	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
92	91	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93		simpr 477	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	92, 93	r19.29d2r 3080	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	95	3anassrs 1290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	96	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	99	3anassrs 1290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	100	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	101, 102	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	100	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	104, 105	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	98, 103, 106	jca32 558	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109		xlt2add 12090	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	109	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . 15
112	111	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
113	110, 112	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	97, 107, 108, 113	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117		simplr2 1104	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118		supxrlub 12155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
119	118	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
120	115, 116, 117, 119	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123		simplr3 1105	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124		supxrlub 12155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
125	124	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
126	121, 122, 123, 125	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127		reeanv 3107	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
128	120, 126, 127	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	114, 129	reximddv2 3020	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	130	ex 450	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	131	reximdva 3017	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133	132	reximia 3009	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	94, 133	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	86, 87, 88, 134	19.9d2rf 29318	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	71, 72, 81, 135	syl21anc 1325	. . . . 5 $/\$ $/\$
137		simprl 794	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
138		simprr 796	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
139	19	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
140	23	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
141	137, 138, 139, 140	elovimad 6693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
142	1	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10
143	142	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
144	141, 143	mpbird 247	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
145		simpr 477	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
146	145	breq2d 4665	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
147	144, 146	rspcedv 3313	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
148	147	rexlimdvva 3038	. . . . . 6
149	148	ad2antrr 762	. . . . 5 $/\$ $/\$
150	136, 149	mpd 15	. . . 4 $/\$ $/\$
151	150	ex 450	. . 3 $/\$
152	151	ralrimiva 2966	. 2
153		supxr2 12144	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
154	27, 32, 70, 152, 153	syl22anc 1327	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

wss 3574

cop 4183 class class class wbr 4653

cxp 5112

cdm 5114

cima 5117

wfun 5882

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

csup 8346

cr 9935

cmnf 10072

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cxad 11944

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-po 5035 df-so 5036 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-2 11079 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947

This theorem is referenced by: (None)

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