Theorem caragenel2d 40746

Description: Membership in the Caratheodory's construction. Similar to carageneld 40716, but here "less then or equal" is used, instead of equality. This is Remark 113D of [Fremlin1] p. 21. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragenel2d.o	|- ( ph -> O e. OutMeas )
caragenel2d.x	|- X = U. dom O
caragenel2d.s	|- S = (CaraGen ` O )
caragenel2d.e	|- ( ph -> E e. ~P X )
caragenel2d.a	|- ( ( ph /\ a e. ~P X ) -> ( ( O ` ( a i^i E ) ) +e ( O ` ( a \ E ) ) ) <_ ( O ` a ) )

Assertion

Ref	Expression
caragenel2d	|- ( ph -> E e. S )

Distinct variable groups:   E, a   O, a   ph, a

Allowed substitution hints:   S( a)   X( a)

Proof of Theorem caragenel2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragenel2d.o	. 2 |- ( ph -> O e. OutMeas )
2		caragenel2d.x	. 2 |- X = U. dom O
3		caragenel2d.s	. 2 |- S = (CaraGen ` O )
4		caragenel2d.e	. 2 |- ( ph -> E e. ~P X )
5	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ~P X ) -> O e. OutMeas )
6		inss1 3833	. . . . . . 7 |- ( a i^i E ) C_ a
7		elpwi 4168	. . . . . . 7 |- ( a e. ~P X -> a C_ X )
8	6, 7	syl5ss 3614	. . . . . 6 |- ( a e. ~P X -> ( a i^i E ) C_ X )
9	8	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ~P X ) -> ( a i^i E ) C_ X )
10	5, 2, 9	omexrcl 40721	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ~P X ) -> ( O ` ( a i^i E ) ) e. RR* )
11	7	ssdifssd 3748	. . . . . 6 |- ( a e. ~P X -> ( a \ E ) C_ X )
12	11	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ~P X ) -> ( a \ E ) C_ X )
13	5, 2, 12	omexrcl 40721	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ~P X ) -> ( O ` ( a \ E ) ) e. RR* )
14		xaddcl 12070	. . . 4 |- ( ( ( O ` ( a i^i E ) ) e. RR* /\ ( O ` ( a \ E ) ) e. RR* ) -> ( ( O ` ( a i^i E ) ) +e ( O ` ( a \ E ) ) ) e. RR* )
15	10, 13, 14	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ~P X ) -> ( ( O ` ( a i^i E ) ) +e ( O ` ( a \ E ) ) ) e. RR* )
16	7	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ~P X ) -> a C_ X )
17	5, 2, 16	omexrcl 40721	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ~P X ) -> ( O ` a ) e. RR* )
18		caragenel2d.a	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ~P X ) -> ( ( O ` ( a i^i E ) ) +e ( O ` ( a \ E ) ) ) <_ ( O ` a ) )
19	5, 2, 16	omelesplit 40732	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ~P X ) -> ( O ` a ) <_ ( ( O ` ( a i^i E ) ) +e ( O ` ( a \ E ) ) ) )
20	15, 17, 18, 19	xrletrid 11986	. 2 |- ( ( ph /\ a e. ~P X ) -> ( ( O ` ( a i^i E ) ) +e ( O ` ( a \ E ) ) ) = ( O ` a ) )
21	1, 2, 3, 4, 20	carageneld 40716	1 |- ( ph -> E e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   +ecxad 11944  OutMeascome 40703  CaraGenccaragen 40705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580  df-ome 40704  df-caragen 40706

This theorem is referenced by:  caragencmpl  40749  hspmbl  40843