Proof of Theorem supxrgelem
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | supxrgelem.b |
. . . . 5
|
2 | | pnfge 11964 |
. . . . 5
|
3 | 1, 2 | syl 17 |
. . . 4
|
4 | 3 | adantr 481 |
. . 3
|
5 | | id 22 |
. . . . 5
|
6 | 5 | eqcomd 2628 |
. . . 4
|
7 | 6 | adantl 482 |
. . 3
|
8 | 4, 7 | breqtrd 4679 |
. 2
|
9 | | simpl 473 |
. . 3
|
10 | | 1rp 11836 |
. . . . . . . 8
|
11 | | nfcv 2764 |
. . . . . . . . . 10
|
12 | | supxrgelem.xph |
. . . . . . . . . . . 12
|
13 | | nfv 1843 |
. . . . . . . . . . . 12
|
14 | 12, 13 | nfan 1828 |
. . . . . . . . . . 11
|
15 | | nfv 1843 |
. . . . . . . . . . 11
|
16 | 14, 15 | nfim 1825 |
. . . . . . . . . 10
|
17 | | eleq1 2689 |
. . . . . . . . . . . 12
|
18 | 17 | anbi2d 740 |
. . . . . . . . . . 11
|
19 | | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
20 | 19 | breq2d 4665 |
. . . . . . . . . . . 12
|
21 | 20 | rexbidv 3052 |
. . . . . . . . . . 11
|
22 | 18, 21 | imbi12d 334 |
. . . . . . . . . 10
|
23 | | supxrgelem.y |
. . . . . . . . . 10
|
24 | 11, 16, 22, 23 | vtoclgf 3264 |
. . . . . . . . 9
|
25 | 10, 24 | ax-mp 5 |
. . . . . . . 8
|
26 | 10, 25 | mpan2 707 |
. . . . . . 7
|
27 | 26 | adantr 481 |
. . . . . 6
|
28 | | mnfxr 10096 |
. . . . . . . . . . 11
|
29 | 28 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
|
30 | | supxrgelem.a |
. . . . . . . . . . . 12
|
31 | 30 | sselda 3603 |
. . . . . . . . . . 11
|
32 | 31 | 3adant3 1081 |
. . . . . . . . . 10
|
33 | | supxrcl 12145 |
. . . . . . . . . . . 12
|
34 | 30, 33 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
|
35 | 34 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . . . 10
|
36 | | simpl3 1066 |
. . . . . . . . . . . 12
|
37 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
38 | 31 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
39 | | ngtmnft 11997 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
40 | 38, 39 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
41 | 37, 40 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
42 | 41 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
43 | | 1re 10039 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
44 | 43 | rexri 10097 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
45 | 44 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
46 | | renepnf 10087 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
47 | 43, 46 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
48 | 47 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
49 | | xaddmnf2 12060 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
50 | 45, 48, 49 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
51 | 42, 50 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
52 | 51 | 3adantl3 1219 |
. . . . . . . . . . . 12
|
53 | 36, 52 | breqtrd 4679 |
. . . . . . . . . . 11
|
54 | | nltmnf 11963 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
55 | 1, 54 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
56 | 55 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
|
57 | 56 | 3ad2antl1 1223 |
. . . . . . . . . . 11
|
58 | 53, 57 | condan 835 |
. . . . . . . . . 10
|
59 | 30 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
|
60 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . 12
|
61 | | supxrub 12154 |
. . . . . . . . . . . 12
|
62 | 59, 60, 61 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . 11
|
63 | 62 | 3adant3 1081 |
. . . . . . . . . 10
|
64 | 29, 32, 35, 58, 63 | xrltletrd 11992 |
. . . . . . . . 9
|
65 | 64 | 3exp 1264 |
. . . . . . . 8
|
66 | 65 | adantr 481 |
. . . . . . 7
|
67 | 66 | rexlimdv 3030 |
. . . . . 6
|
68 | 27, 67 | mpd 15 |
. . . . 5
|
69 | | simpr 477 |
. . . . . . 7
|
70 | | nltpnft 11995 |
. . . . . . . . 9
|
71 | 34, 70 | syl 17 |
. . . . . . . 8
|
72 | 71 | adantr 481 |
. . . . . . 7
|
73 | 69, 72 | mtbid 314 |
. . . . . 6
|
74 | 73 | notnotrd 128 |
. . . . 5
|
75 | 68, 74 | jca 554 |
. . . 4
|
76 | 34 | adantr 481 |
. . . . 5
|
77 | | xrrebnd 11999 |
. . . . 5
|
78 | 76, 77 | syl 17 |
. . . 4
|
79 | 75, 78 | mpbird 247 |
. . 3
|
80 | | simpl 473 |
. . . . 5
|
81 | | simpr 477 |
. . . . . 6
|
82 | 34 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
|
83 | 1 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
|
84 | | xrltnle 10105 |
. . . . . . . 8
|
85 | 82, 83, 84 | syl2anc 693 |
. . . . . . 7
|
86 | 85 | adantlr 751 |
. . . . . 6
|
87 | 81, 86 | mpbird 247 |
. . . . 5
|
88 | | simpll 790 |
. . . . . . 7
|
89 | 28 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
|
90 | 88, 34 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
|
91 | 88, 1 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
|
92 | | mnfle 11969 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
93 | 34, 92 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
94 | 93 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . 12
|
95 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . 12
|
96 | 89, 90, 91, 94, 95 | xrlelttrd 11991 |
. . . . . . . . . . 11
|
97 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
98 | 10 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
99 | 97, 98, 25 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
100 | 99 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . 12
|
101 | 1 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
102 | 44 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
103 | 32, 102 | jca 554 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
104 | | xaddcl 12070 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
105 | 103, 104 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
106 | | pnfxr 10092 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
107 | 106 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
108 | | simp3 1063 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
109 | 31, 44, 104 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
110 | | pnfge 11964 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
111 | 109, 110 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
112 | 111 | 3adant3 1081 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
113 | 101, 105,
107, 108, 112 | xrltletrd 11992 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
114 | 113 | 3exp 1264 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
115 | 114 | rexlimdv 3030 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
116 | 88, 115 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
|
117 | 100, 116 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . 11
|
118 | 96, 117 | jca 554 |
. . . . . . . . . 10
|
119 | | xrrebnd 11999 |
. . . . . . . . . . 11
|
120 | 91, 119 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
|
121 | 118, 120 | mpbird 247 |
. . . . . . . . 9
|
122 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . 10
|
123 | 122 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
|
124 | 121, 123 | resubcld 10458 |
. . . . . . . 8
|
125 | 26, 115 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
126 | 125 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . 12
|
127 | 96, 126 | jca 554 |
. . . . . . . . . . 11
|
128 | 127, 120 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . 10
|
129 | 123, 128 | posdifd 10614 |
. . . . . . . . 9
|
130 | 95, 129 | mpbid 222 |
. . . . . . . 8
|
131 | 124, 130 | elrpd 11869 |
. . . . . . 7
|
132 | | ovex 6678 |
. . . . . . . 8
|
133 | | nfcv 2764 |
. . . . . . . . 9
|
134 | | nfv 1843 |
. . . . . . . . . . 11
|
135 | 12, 134 | nfan 1828 |
. . . . . . . . . 10
|
136 | | nfv 1843 |
. . . . . . . . . 10
|
137 | 135, 136 | nfim 1825 |
. . . . . . . . 9
|
138 | | eleq1 2689 |
. . . . . . . . . . 11
|
139 | 138 | anbi2d 740 |
. . . . . . . . . 10
|
140 | | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . . 12
|
141 | 140 | breq2d 4665 |
. . . . . . . . . . 11
|
142 | 141 | rexbidv 3052 |
. . . . . . . . . 10
|
143 | 139, 142 | imbi12d 334 |
. . . . . . . . 9
|
144 | 133, 137,
143, 23 | vtoclgf 3264 |
. . . . . . . 8
|
145 | 132, 144 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
|
146 | 88, 131, 145 | syl2anc 693 |
. . . . . 6
|
147 | | ltpnf 11954 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
148 | 147 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
|
149 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
150 | 149 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
151 | 150 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . 12
|
152 | 148, 151 | breqtrd 4679 |
. . . . . . . . . . 11
|
153 | 152 | adantll 750 |
. . . . . . . . . 10
|
154 | 153 | ad5ant15 1303 |
. . . . . . . . 9
|
155 | | simplll 798 |
. . . . . . . . . 10
|
156 | | simpl 473 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
157 | 88, 41 | sylanl1 682 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
158 | 157 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
159 | | simplr 792 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
160 | | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
161 | 160 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
162 | 128, 123 | resubcld 10458 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
163 | 162 | rexrd 10089 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
164 | 163 | ad3antrrr 766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
165 | | renepnf 10087 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
166 | 124, 165 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
167 | 166 | ad3antrrr 766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
168 | | xaddmnf2 12060 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
169 | 164, 167,
168 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
170 | 161, 169 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
171 | 159, 170 | breqtrd 4679 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
172 | 156, 158,
171 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
173 | 55 | ad5antr 770 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
174 | 172, 173 | condan 835 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
175 | 174 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
|
176 | | simp3 1063 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
177 | 31 | 3adant3 1081 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
178 | | nltpnft 11995 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
179 | 177, 178 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
180 | 176, 179 | mtbid 314 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
181 | 180 | notnotrd 128 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
182 | 181 | 3adant1r 1319 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
183 | 182 | ad5ant135 1314 |
. . . . . . . . . . . 12
|
184 | 175, 183 | jca 554 |
. . . . . . . . . . 11
|
185 | 31 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
186 | 185 | ad5ant13 1301 |
. . . . . . . . . . . 12
|
187 | | xrrebnd 11999 |
. . . . . . . . . . . 12
|
188 | 186, 187 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
|
189 | 184, 188 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . 10
|
190 | | simplr 792 |
. . . . . . . . . 10
|
191 | 121 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
192 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
193 | 124 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
194 | | rexadd 12063 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
195 | 192, 193,
194 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
196 | 192, 193 | readdcld 10069 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
197 | 195, 196 | eqeltrd 2701 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
198 | 197 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
199 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
200 | 191, 198,
191, 199 | ltsub1dd 10639 |
. . . . . . . . . . . 12
|
201 | 121 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
202 | 201 | subidd 10380 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
203 | 202 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
204 | 192 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
205 | 201 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
206 | 122 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
207 | 206 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
208 | 204, 205,
207 | addsub12d 10415 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
209 | 195, 208 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
210 | 209 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
211 | 204, 207 | subcld 10392 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
212 | 205, 211 | pncan2d 10394 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
213 | 210, 212 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
214 | 213 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
215 | 203, 214 | breq12d 4666 |
. . . . . . . . . . . 12
|
216 | 200, 215 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . 11
|
217 | 123 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . 12
|
218 | | simplr 792 |
. . . . . . . . . . . 12
|
219 | 217, 218 | posdifd 10614 |
. . . . . . . . . . 11
|
220 | 216, 219 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . 10
|
221 | 155, 189,
190, 220 | syl21anc 1325 |
. . . . . . . . 9
|
222 | 154, 221 | pm2.61dan 832 |
. . . . . . . 8
|
223 | 222 | ex 450 |
. . . . . . 7
|
224 | 223 | reximdva 3017 |
. . . . . 6
|
225 | 146, 224 | mpd 15 |
. . . . 5
|
226 | 80, 87, 225 | syl2anc 693 |
. . . 4
|
227 | 59, 33 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
|
228 | 31, 227 | xrlenltd 10104 |
. . . . . . . 8
|
229 | 62, 228 | mpbid 222 |
. . . . . . 7
|
230 | 229 | ralrimiva 2966 |
. . . . . 6
|
231 | | ralnex 2992 |
. . . . . 6
|
232 | 230, 231 | sylib 208 |
. . . . 5
|
233 | 232 | ad2antrr 762 |
. . . 4
|
234 | 226, 233 | condan 835 |
. . 3
|
235 | 9, 79, 234 | syl2anc 693 |
. 2
|
236 | 8, 235 | pm2.61dan 832 |
1
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